séquent, si relativement aux deux systèmes d'axes AX, AY, AZ, et Ax, Ay, Az, la quantité A est + 1, il suffit de changer la direction de l'un quelconque des six axes pour que la valeur correspondante de A▲ devienne — 1.

J'ai aussi fait voir au même endroit que la raison qui a fait condamner la valeur A-1, provenait de ce qu'on ne prenait en considération que des systèmes secondaires qu'on pût faire coïncider avec le système primitif par un mouvement quelconque autour de l'origine commune A. Or, s'il est toujours possible de faire coïncider par un tel mouvement deux axes secondaires avec deux axes primitifs, il n'en peut pas moins arriver que le troisième axe secondaire, au lieu de coïncider avec le troisième axe primitif, coïncide avec le prolongement de cet axe au delà de l'origine A.

Toute cette partie de mon mémoire m'a semblé tellement élémentaire et évidente, qu'elle ne pût laisser aucun doute dans l'esprit du lecteur. Néanmoins M. Plana, sans attaquer les raisonnements que j'avais employés pour démontrer le contraire, s'appuie sur trois démonstrations différentes pour faire voir que la valeur ▲ = + 1, est la seule admissible. L'importance de cette matière bien plus encore que le besoin de me justifier, me font un devoir de soumettre au public et à M. Plana lui-même, les observations que la lecture de sa note m'a suggérées.

1° Démonstration de Lagrange (voyez Méc. anal., t. II, pag. 217, 2o éd.). Cette démonstration que M. Plana ne fait que citer, consiste à faire coïncider le système secondaire avec le système primitif, ce qui, comme nous venons de le répéter, n'est pas toujours faisable. C'est du reste la même

méthode que celle employée par M. Lacroix, et qui se trouve citée à la page 126 du mémoire.

2o Démonstration appuyée sur les expressions des neuf quantités a', b',..... en fonction de trois angles &, q, d, dont les deux premiers sont formés par l'intersection AN des plans XAY et xAy avec les axes AX et Ax, et le troisième est l'angle d'inclinaison de ces plans. M. Plana emploie ici les formules indiquées par Poisson (Mécan., 2o éd., § 378). Or, il n'est pas difficile de voir que ces formules ne sont pas la seule solution possible du problème d'exprimer les quantités a', b',.... en fonction de 4, 9, et qu'elles renferment au contraire, certaines suppositions qui n'ont pas lieu dans tous les cas. En effet, si on veut laisser le problème dans toute sa généralité, il faut partir des trois équations

cos. 9=c""; sin. 9. cos.

=b'"'; ± sin. 9. cos.

= a'b''' - a""'b' ;.. (A) (*)

=

....

(*) L'angle d'inclinaison des plans xAy et XAY étant = ZAZ, on aura immédiatement cos. = c". De plus, l'équation du plan xAy rapportée aux axes primitifs sera o = a"§+b"v+c""; puisque a''', b''', c''', sont les cosinus des angles que fait Az (perpendiculaire au plan xAy) avec les trois axes. Les équations de l'intersection AN, seront par conséquent o=a""'§+b′′"v; =o; d'où il s'ensuit facilement

La première de ces équations se transforme ensin. 9 cos. 4b"", si l'on écrit au lieu de NAX, et que l'on observe que

+b2 1

- с =

= sin2. 9. Enfin, on a cos. ?= cos. NAx cos. NAX. cos. xAX + cos. NAY. cos. xAY+cos. NAZ. cos. xAZ

=

et les combiner avec les équations fondamentales a'2+b ́2 + c'21, etc.; ce qui fournira 16 solutions différentes, dont 8 se rapporteront à la valeur A+ 1, et 8 autres à A=-1. Ce n'est pas ici l'endroit de discuter ces solutions; je me bornerai à en citer une que voici :

Il est facile de se convaincre que ces valeurs de a', b',...... satisfont également aux équations (A) et aux six équations fondamentales, et qu'il n'en résulte aucune relation entre les angles 4, 9, 9. Elles représentent donc réellement une solution de la question. Or, si l'on calcule par leur moyen la valeur de ▲, on trouvera ▲ = - 1. On conclura de ce qui précède que, si la quantité ▲ devient + 1 par suite des formules de M. Poisson, ce n'est pas parce que cela doit avoir lieu généralement, mais parce que ses suppositions sont telles que l'on puisse faire coïncider le système secondaire avec le système primitif.

3o Démonstration appuyée sur la double intégrale

Dans son mémoire De integralibus duplicatis (Novi ComMENTARII ACAD. PETROP., t. XIV, pars I), Euler a démon

tré que x et y étant des fonctions de t et de u, et faisant dx=Rdt+Sdu; dy=Tdt+Udu, la valeur de ffZdx dy, étendue à toutes les valeurs possibles de x et de y, était égale à Z(RU-ST) dtdu, également étendue à toutes les valeurs possibles de t et de u. Mais cet illustre géomètre n'a pas manqué de faire remarquer que cette égalité ne s'appliquait qu'aux valeurs absolues des intégrales. Et réellement, voici comment on peut se convaincre que le signe de la double intégrale ƒƒ Z(RU―ST) dtdu doit rester indéterminé. Soient t' et t', u' et u" les valeurs extrêmes de t et de u. Si les équations x = F(t, u); y=f(t, u) suffisent pour déterminer ces valeurs extrêmes, pourvu que l'on connaisse les valeurs extrêmes de x et de y, elles ne suffisent pas pour décider du sens dans lequel il faut intégrer, c'est-à-dire, par exemple, s'il faut intégrer de t' jusqu'à t'', ou de t' jusqu'à t'. Or, puisqu'on a

il est évident que les équations x = F(t, u); y = f(t, u) ne suffisent pas pour déterminer le signe de ƒ Z(RU—ST)dtdu, et qu'on doit poser

ffzdxdy = ±ffz (RU—ST) dtd. ̧
=±ƒsZ

M. Plana, faisant usage du théorème d'Euler, transforme la double intégrale

ce qui implique une convention à l'égard du sens dans lequel on doit intégrer, il conclut à ▲ + 1; tandis que d'après la remarque ci-dessus, on n'en peut déduire autre. chose, sinon que A=±1.

PHÉNOMÈNES PÉRIODIQUES.

Le secrétaire rend compte de l'extension que prend de plus en plus le système d'observations simultanées que l'académie a favorisé de tous ses moyens. Ce système comprend d'une part les observations météorologiques horaires des solstices et des équinoxes, et de l'autre les observations sur les phénomènes périodiques annuels.

Quant aux observations relatives au dernier solstice d'hiver, M. Quetelet annonce qu'il a reçu déjà les observations de 23 stations, parmi lesquelles figurent sept stations nouvelles, celles de Luxembourg, Leeuwarden, Lille, Bordeaux, Lausanne, Toulouse et Prague.

Pour ce qui concerne les observations sur les modifications qu'introduit dans le règne végétal et dans le règne animal la succession des saisons, le secrétaire dépose sur le bureau les résultats obtenus en Belgique, pendant le cours de l'année 1841. Voici un aperçu général de ces observations.

Pour Bruxelles :

Dans le jardin de l'observatoire royal. Observations