Dans les opérations faites avec beaucoup de soin, il est rare que l'erreur du triangle aille à 4" sexagésimales; et quand les triangles sont bien conditionnés, cette erreur n'a aucune influence sensible sur les côtés.

Par exemple, choisissons le 43o triangle de la Base du Système métrique décimal, dans lequel la distance de Lieursaint à Melun est la base mesurée, et cherchons, au moyen de cette base et des trois angles, les deux autres côtés.

Il faut passer préalablement des angles observés aux angles sphériques. Or, on a, tome I, page 524,

Dans ce tableau, les angles observés et réduits sont les angles de position réduits au centre et à l'horizon; leur somme = 180°0′0′′,41 : l'excès sphérique déterminé par la méthode de l'art. 100, ou ainsi qu'il sera expliqué plus particulièrement à l'article suivant, est de o",49; l'erreur du triangle est donc - o",08, et elle est négative, parce que la première somme est plus petite que la seconde : on l'affecterait du signe si le contraire avait lieu. En la répartissant également sur les trois angles, on aura ce nouveau tableau :

dé

Faisant usage de la notation de l'art. 54, le côté a sera connu; ainsi, la règle des quatre sinus, on aura ces deux proportions pour par terminer les deux autres côtés b, c,

Mais elles supposent que la base a, donnée en mètres, est un arc de grand cercle réduit en parties de l'unité ou du rayon des Tables. On peut cependant exprimer en mètres le sinus de a, et pour lors sin b et sin c seront donnés en pareille mesure. En effet, lorsque le rayon est l'unité, on a (art. 91)

sin x sera donc donné en mètres, si l'arc x est lui-même exprimé en unités de cette espèce. De là

en négligeant les autres termes de la série, qui sont toujours insensibles dans la pratique de la Géodésie, et représentant par μ le module 0,434294, dont le log 9,63778.

=

Le passage de l'arc au sinus, ou réciproquement, se fera donc trèspromptement, en remarquant que le coefficient de x2, c'est-à-dire μ a pour log. 5,25187 lorsque p

6p2

=

6 366 198m.

Si l'on désigne par D le degré moyen et par

la demi-circonfé

rence d'un cercle dont le rayon est 1, on aura p =

I,

Delambre, qui le premier a fait usage de ce procédé, et évalué tous les côtés de ses triangles en toises, a supposé D= 57020'. On a aussi en parties du rayon

Pour application, soit, comme Delambre, x = 14088',2858; en convertissant cet arc en secondes, on aura, d'après la valeur de D ci-dessus,

puis, par les Tables de Vlacq à 10 décimales, on aura

Lorsque le sinus de x est donné en mesures connues, et qu'on veut avoir x de la même manière, on a, par ce qui précède,

La valeur de x, ou plutôt de a, dans le 43 triangle que nous prenons pour exemple, est, en arc, 6075',9001, dont le log. sin = 3,78361 03721; ainsi les deux proportions précédentes donneront

=

C'est ainsi que Delambre a obtenu tous les côtés des triangles de la méridienne; mais il observe que l'on peut très-bien s'en tenir aux Tables de Callet, et résoudre dans tous les cas les triangles géodésiques, au moyen des logarithmes à 7 décimales.

Lorsqu'une chaîne de triangles est terminée par deux bases, on est dans l'usage d'en calculer chaque moitié avec la base qui en fait partie : alors on prend pour còté de jonction la moyenne arithmétique entre

les deux résultats. Mais Delambre, pour ne pas laisser accumuler ainsi toute l'erreur sur un côté, aime mieux faire accorder exactement les deux bases, en modifiant tant soit peu les angles des triangles. Cette manière de répartir, tout le long de la chaîne, l'erreur entre une base calculée et mesurée, quoique étant tout à fait arbitraire, ne donne lieu cependant qu'à des corrections qui sont bien en deçà des limites des erreurs probables d'observation. Laplace, dans l'ouvrage que j'ai déjà cité (art. 110), donne à ce sujet une méthode certaine et toute fondée sur une analyse rigoureuse; je la ferai connaître à l'art. 207.

Résolution des triangles sphériques peu courbes, par la Trigonométrie rectiligne.

150. La méthode par laquelle on ramène, à l'aide du théorème de Legendre, la résolution des triangles sphériques à celle des triangles rectilignes, est généralement adoptée à cause de sa simplicité. Ainsi, pour calculer les différents côtés des triangles ABC, BCD,... (fig. 34), on ôte de chacun des angles horizontaux de ces triangles le tiers de l'excès de leur somme sur deux angles droits; après quoi l'on applique successivement à chaque triangle le principe de l'art. 48.

Je choisirai pour exemple un des triangles du réseau trigonométrique que je fis servir, en 1816, d'exercice aux élèves du Corps royal des ingénieurs-géographes, savoir : le triangle Panthéon- Saint-Martindu-Tertre-Dammartin. Dans ce triangle, le seul côté de commun avec la méridienne de France est la distance du Panthéon à SaintMartin, laquelle = 29 269m,30, réduite en arc et au niveau de la mer. Voici les résultats de nos observations et de nos calculs.