ainsi l'on a définitivement, en prenant H' - H en degrés sexagésimaux, c'est aussi ce que donnerait, avec un peu d'attention, la 3o formule de l'art. 177. Il est évident qu'il faudrait substituer 200o à la place de 180o, si les latitudes étaient exprimées en grades. Faisant U = 1o, et de plus e = sin I, ou l'aplatissement a = 2sin', ce qui est permis, puisque e est une fraction moindre que l'unité, la série (I) ou la formule précédente donnera assez exactement, pour l'arc M d'un degré du méridien, π étant le rapport de la circonférence au diamètre. Si H désignait la latitude de l'extrémité nord, il faudrait prendre négativement. Mais au 180 lieu d'exprimer la longueur du degré du méridien par la latitude de l'une de ses extrémités, on suppose ordinairement le rayon de courbure de cet arc mené par son milieu, dont la latitude est alors (H+H')=. Ainsi l'on a simplement et si l'on développe en s'arrêtant aux termes en e2, il vient en faisant P=a(1-e2), Q=&e2P. On voit donc que les longueurs des degrés sur l'ellipsoïde de révolution croissent de l'équateur aux pôles, sensiblement comme les carrés des sinus des latitudes de leurs milieux. Pour un autre arc M' d'un degré, correspondant à la latitude, on a pareillement Par exemple, à la latitude de 48°50', et en admettant pour valeurs de a et de e2 celles de l'art. 181, on trouve que l'accroissement d'un degré à la latitude de Paris, et en allant vers le nord, est A= 18m,4. Les valeurs ci-dessus de M et M' étant divisées l'une par l'autre, conduisent à celle-ci : formule attribuée à Maupertuis et qui donne approximativement l'aplatissement de la Terre par la mesure de deux degrés de méridiens, pourvu cependant qu'ils répondent à des latitudes très-différentes, afin que le dénominateur de a soit le plus grand possible. Cette condition étant remplie par les degrés de l'équateur et de France, on a, d'après l'art. 178, et en vertu de la notation actuelle, De là En France, M=111131",2, 4= 45° 4′18′′,05; A l'équateur, M'110582", I, résultat bien peu différent de celui que nous avons obtenu précédemment en poussant plus loin l'approximation. 185. La méthode employée ci-dessus, pour développer un arc en série ordonnée suivant les puissances de son amplitude, s'applique également au problème inverse. En effet, on a généralement cherchant donc les autres coefficients différentiels, et ne conservant les termes en e2; puis faisant attention que e2 22 = tang2 I, et que que série encore régulière, et dont la loi des termes est en évidence. Jamais, dans la pratique, on n'a besoin de tenir compte du quatrième terme. Si l'on bornait la série au terme A3, et que l'on conservât la quatrième puissance de l'excentricité, on trouverait mais comme, par cette formule, l'amplitude U serait donnée en parties de l'unité, il faudrait, pour l'avoir en grades, multiplier tous les termes du second membre par π ayant la même signification que ci dessus. 200 de cour 186. Jusqu'à présent nous n'avons considéré que le rayon bure de l'ellipse génératrice de l'ellipsoïde de révolution: occuponsnous de la recherche de celui d'une section faite dans ce corps, par un plan mené d'une manière quelconque suivant une des normales; et, pour cet effet, désignons par x', y' les coordonnées rectangles d'un point de la limite de cette section verticale; prenons pour axe des x' la normale à un point du méridien elliptique ayant H pour latitude; plaçons l'origine des x' au point d'intersection du rayon de l'équateur et de la normale dont il s'agit; enfin, désignons par x, Y, Z les coordonnées rectangles d'un point quelconque de l'ellipsoïde de révolution, de manière que le rayon a de l'équateur soit l'axe des x, b celui du pôle l'axe des y, et la droite perpendiculaire au plan des xy l'axe des z. Cela posé, l'équation de l'ellipsoïde, rapportée au centre, sera (1) a2y2 + b2 (z2 + x2) = a2 b2 ; or, pour trouver en général l'équation de la section faite dans ce . corps, il faut, comme l'on sait, substituer à x, y, z les valeurs dans lesquelles est l'angle que le plan sécant fait avec le méridien xy, et la distance du centre de l'ellipsoïde au point où la normale rencontre le rayon de l'équateur (art. 167), auquel cas = (1 ae2 cos H e' sin' H) 2 e désignant toujours le rapport de l'excentricité au demi grand axe. Ces substitutions faites, on a un résultat de cette forme : (3) mx2+ny12-px'y' +qx'+ry' = s; c'est l'équation à l'ellipse, ou celle de l'intersection cherchée. Il est facile de voir que l'on a ἐπ Lorsque cette ellipse est perpendiculaire au méridien, on a 0 = 1⁄2π et pour lors cos = 0; circonstance qui réduit l'équation (3) à la suivante : (5) (a2 sin❜H+b2 cos2 H) x2+27b2 cos H. x' + b2y'2 = (a2 — n2) b2, Soient donc x, x ces deux racines, abstraction faite de leurs signes; on trouvera, avec un peu d'attention, et après avoir mis pour ʼn sa valeur rapportée ci-dessus, la première racine est la normale N' (art. 167), et la seconde racine, la partie opposée de la corde x, x'. Soient en outre a' le demi grand axe de l'ellipse dont il s'agit, et b' son demi petit axe; on aura Pour trouver le demi grand axe, on chassera le second terme en ' de l'équation (5), et cela en faisant x=x" cette manière on aura b2 cos H a'sin' H+b2 cos2 H ; de (a2 sin2 H+b2 cos3 H) x'2 + b2 μa2 — b1(a2—n3)(aasin3H+b*cos3 H) +ban2 cos3 H ou, pour abréger, 2 y'2 a2 sin' H + b2 cos2 H |