Le caractère analogue pour les surfaces du second ordre ne présente pas un degré de simplicité tel que nous croyions bon de le développer. LOIS DU MOUVEMENT DES PLANÈTES PAR M. HAILLECOURT, agrégé et inspecteur honoraire de l'Université de France, membre correspondant et lauréat. Nonum..... in annum. (Horace, Art poétique). SECOND MÉMOIRE. MÉCANIQUE RATIONNELLE. Problème. Sachant, sans rien supposer de plus, que les planètes décrivent des coniques, trouver en fonction des coordonnées de son point d'application, l'expression de la force qui les sollicite. (Académie des sciences, séances des 16 et 30 Avril 1877, et suivantes). On connaît, dans deux cas particuliers, la loi de la force centrale (1) qui fait décrire une conique: la force est en raison inverse du carré de la distance ou en raison directe de la distance, suivant que le centre d'attraction est l'un des foyers ou le centre de figure de la trajectoire. Le problème actuel est done de chercher la loi pour laquelle le centre d'attraction peut occuper une position quelconque à l'intérieur de la trajectoire. Une question préliminaire est celle du nombre de constantes arbitraires que doit contenir l'expression générale demandée. Dans les deux cas particuliers rappelés plus haut, il n'y en a qu'une seule. Et, en effet, la conique devant, dans chaque problème particulier de détermination, passer par un point fixe la position initiale du mobile -et y toucher une droite fixe la direction de la vitesse initiale, en même temps qu'avoir pour un de ses foyers ou pour centre un point donné, il paraît évident qu'il ne faut plus qu'une autre donnée, une 5o. - Dans le cas général, où le centre d'attraction occupe une position quelconque dans la figure, il faut, par compensation, deux données de plus, savoir trois, qui ne peuvent évidemment provenir que de l'expression de la force. Prenons d'ailleurs la formule : (1) M. le Secrétaire perpétuel a, en effet, force doit émaner d'un centre. L'intégration n'amènera que deux constantes arbitraires, sur les cinq que doit renfermer l'équation générale des coniques. L'expression de F doit donc en contenir trois, dont une, facteur commun - et que nous continuerons à désigner par coefficient d'homogénéite relatif au temps. est un En conséquence, l'expression demandée est de l'une des deux formes: F = μg (a, b, u, v), F = r↓ (a, b, c, u, v) pourvu que soit homogène en a, b, c, u et v étant les coordonnées. Cela posé, abordons notre méthode qui consiste à passer, par voie de projection ou de transformation plane équivalente du cas particulier au cas général. Soit r une conique. Soit O un des points intérieurs et A CA,, le diamètre sur lequel il se trouve. Sur A A,, comme axe, contruisons la conique r' qui a O pour foyer. Cette transformée jouit évidemment de toutes les propriétés, géométriques et dynamiques, des projections cylindriques. En particulier, si F et F' sont les forces, émanées de 0, qui font parcourir les deux coniques de sorte que les mobiles soient, à chaque instant, en des points correspondants; sir et r' sont les distances de ces mobiles au point 0, O étant foyer de r', r' a deux expressions en fonction des coordonnées de son extrémité, par rapport à deux axes se croisant en 0, savoir : (2) R' a' x' + b' y' + c' = (x = y '') } . Mais x' et y' sont des fonctions linéaires homogènes des coordonnées, x et y, par rapport aux mêmes axes, de l'extrémité de R. Donc : (3) r'=ax+by+c=(Mx2+2 Nxy+Py'). La signification géométrique du trinome du 1er degré est connue c'est ер, e étant un coefficient coustant, et p la distance du point (x, y) à la droite ax+by+c=0, qui est le polaire de O pour la courbe r, puisqu'elle est la transformée de la directrice de r', pour équation a' x' + b' y' + c' o. qui a Pour interprêter géométriquement le trinôme homogène du 2o degré, posons: |