DE L'IMAGINAIRE EN GÉOMÉTRIE par M. Paul de Goy, Lauréat. Hinc erunt adaptationes mirabiles. (T. S. H. T.). I. 1. Il est des questions d'une nature trop élevée pour qu'on les résolve autrement que par degrés. Avant d'aborder dans toute sa généralité l'étude de l'interprétation et du mode d'emploi des expressions imaginaires en géométrie, nous éclaircirons la notion de leur application par un exemple, et nous traiterons ce problème : Trouver le lieu des points M tels que l'ordonnée M P soit moyenne proportionnelle entre les distances du pied P de cette ordonnée à deux points A et B de l'axe des x. Désignons par 2 R la distance A B et prenons le milieu pour origine des coordonnées. La distance de deux points (x, y), (a, ß) est représentée en coordonnées rectangulaires par la formule générale √ (x − ∞)2 + (y — ß)2 Les deux points se trouvant ici sur l'axe des x, l'expression devient Le point P ayant même abscisse x que le point M du lieu cherché et celles des points A et B étant + R et R, on aura A P = √(x — R)2 ; B P = √ (≈ + R)2 Ceci est vrai, quelle que soit la position du point P par rapport aux points A et B, qu'il se trouve dans l'intervalle A B ou en dehors, on aura donc pour la traduction complète de l'énoncé MP2 APB P; y = √(x-R)2 √ (≈ + R)2. Il est naturel de simplifier la formule en extrayant la racine des quantités placées sous le radical, mais il faut auparavant remarquer que (R) est aussi bien R R. Nous devons donc écrire : x que x pour résoudre dans toute sa généralité le problème. Ainsi le lieu comprend à la fois l'hyperbole y2 = x2 - 2 R2 et le cercle y2 = R2 R2) -R2x2. Nous voyons de plus qu'en résolvant l'équation y2 =±(x2 par rapport à y, on a y=√(x2-R), et que par suite les valeurs de x qui rendent imaginaires l'ordonnée de l'une des courbes sont précisément celles qui rendent l'ordonnée de l'autre réelle, de sorte qu'elles se complètent véritablement et que leurs branches tangentes aux points A et B en font pour ainsi dire une seule et même courbe. Maintenant que faut-il pour qu'elles aient une seule et même équation? Il suffit de convenir que pour le cercle on construira les valeurs de y de la forme VR- √x2 - R1 V-T lorsque x est plus grand que R en valeur absolue comme on construit l'expression réelle alors de VR et que réciproquement, lorsque x est < R dans l'équation de l'hyperbole, on prendra y = R22 au lieu de y RV. On a ainsi à volonté deux VR équations ou une seule avec l'interprétation correspondante des expressions imaginaires. Nous appellerons cette hyperbole qui est équilatère et ce cercle conjugués et nous dirons que les points imaginaires de l'une sont des points réels de l'autre et réciproquement, en généralisant ainsi une manière de parler reçue et depuis longtemps adoptée quand il s'agit des deux hyperboles dont les équations sont ±a2 y2 = b2x2 = a2 b2. Nous voyons qu'il est facile par le moyen indiqué ci-dessus de réunir dans une même équation (celle des deux que l'on voudra), les deux courbes qui sont déjà comprises dans la réponse à un même énoncé. 2. Il est aisé de généraliser. 74 Soit f(x, y) o l'équation d'une courbe quelconque. En la supposant résolue par rapport à y, nous aurons pour le cas où x restant réel, y devient imaginaire 2 y, et y étant des fonctions de x que nous pouvons désigner par f (x) et f2 (x). Nous aurons ainsi 2 y = y1 + √ = y22 = f, (x) +V=122 (x) et tant que la fonction f(x) est négative pour une valeur réelle de x, y est une quantité réelle, et l'on a ainsi les points réels de la courbe f (x, y) = 0. Lorsque f (x) est une quantité positive et que par suite la fonction f(x) est négative, l'expression de y devient imaginaire et nous avons le problème correspondant que l'on peut appeler conjugué du premier ainsi que son équation en posant - y=f, (x)+√7,2 (x) au lieu de y=f, (x)+ V = {22 (x et par suite évidemment y=f, (x)+f,(x)=y,+y, au lieu de y=f, (x)+f2(x) V=T=y,+Y2V=1. 3. Nous allons maintenant étudier le cas beaucoup plus général où x et y peuvent être à la fois imaginaires de la forme |