Mais personne ne fait de ces vérifications si aisées et ne suppose qu'il puisse se tromper en calculant. Nous dirons du calcul algébrique ce que nous avons dit du calcul numérique. Il ne peut se bien faire que si chaque pas est assuré par quelque vérification. Dans une théorie exposée au tableau, il n'y a rien d'imprévu, et s'il échappe quelque faute, le résultat connu d'avance sert à la découvrir et à la corriger. Il n'en est pas de même dans une question d'application. C'est surtout au commencement que l'on doit faire le plus d'attention et ne pas craindre de répéter deux ou trois fois le même calcul. Plusieurs candidats ont trouvé le moyen de se tromper dans l'équation de la parabole rapportée à son foyer. Il est clair que tout le reste de la composition devait se ressentir de cette première faute, pourtant si facile à éviter. Les élèves qui ont trouvé l'équation exacte de la courbe n'ont pas toujours su en déduire la forme, tant on est peu exercé sur la construction des courbes d'après leurs équations. Quelques-uns ont commencé la discussion par rechercher si la courbe n'avait pas de points d'inflexion à l'infini; mais le point placé à égale distance du sommet de la parabole et de son foyer leur a échappé. La composition de Mathématiques étant une épreuve sérieuse et qui a une grande importance, il convient que les candidats s'y préparent en traitant avec le plus grand soin des questions d'application. On ne devrait étudier aucune théorie un peu importante, sans traiter une question qui s'y rapporte. Malheureusement il n'en est pas ainsi : nous avons vu des élèves intelligents ne point faire les compositions données par leurs professeurs. Ils aiment mieux, disent-ils, repasser leur cours. C'est une mauvaise spéculation dont ils s'aperçoivent quand il n'est plus temps. (E. P.) SOLUTION DE QUESTIONS PROPOSÉES DANS LES NOUVELLES ANNALES. Questions 429 et 430 (voir t. XVII, p. 139); PAR M. BAUQUENNE, Par le centre d'un polygone sphérique régulier, on fait passer une circonférence de grand cercle, et l'on projette sur cette circonférence tous les arcs menés du centre aux divers sommets; comment varie la somme des puissances n des tangentes des projections quand varie la direction du grand cercle? Question analogue pour un polygone régulier dans un plan. (VANNSON.) Soient O le centre d'un polygone, A un quelconque de ses sommets, A' la projection de ce sommet sur l'arc de grand cercle considéré. En désignant par r le rayon polaire du polygone, le triangle sphérique rectangle AOA' donne 2π Si N est le nombre des côtés du polygone, est N l'angle au pôle. Appelons a l'angle caractéristique du grand cercle choisi, et k un nombre entier inférieur à N, m étant un nombre entier quelconque. Les arcs considérés étant en progression arithmétique, il suffit d'appliquer une formule connue, et l'on trouve que le numérateur est nul sans que le dénominateur le soit, toutes les m N fois que n'est pas entier, ce qui arrive en particulier si m est inférieur à N. La plus grande valeur de m étant n, la somme précédente sera nulle si le degré de la puissance est inférieur au nombre des côtés du polygone. Donc, si n est impair, Sap (p + 1)(p + 2)... 2p N tangr Cette somme est donc constante. 22 Si l'on avait considéré le polygone dans un plan, on aurait eu OA' =rcos AOA', et une suite de calculs identiques. Dans le cas où p=1, la dernière formule se simplifie Si l'on prend les polaires des points milieux des côtés d'un triangle, relativement à une conique quelconque inscrite dans le triangle, ces polaires déterminent un triangle qui a une surface constante, (FAURE.) Prenons le premier triangle dont les longueurs des côtés sont a, b, c pour triangle de référence; une conique quelconque inscrite dans ce triangle aura pour équation l2a2 + m2 f2 + n2 y2 — 2 mnßy — 2nlya — 2lmaß = 0. La polaire, par rapport à cette conique, d'un point quelconque a', ß', y' a pour équation (la mẞny) la' + (mẞ — ny — la) mẞ' En portant ces différentes valeurs dans l'équation générale de la polaire, on obtient (1) (mc+ nb) la — (mc — nb) mẞ + (mc — nb) ny=0, (2) (le |