proques (simple ou généralisée), les points de la conique fondamentale sont à eux-mêmes leurs conjugués, et possèdent cette propriété à l'exclusion de tous les autres points de la figure. Dans la transformation gauche, les points de l'axe de transformation sont à eux-mêmes leurs conjugués, et, hors de cette ligne, il y a un point, un seul point, doué de la même propriété : c'est le point de rencontre de AA' avec BB'.

C'est ici une différence essentielle; car la conique fondamentale de l'autre méthode ne saurait donner lieu parmi ses variétés à cet ensemble : une droite et un point.

D'ailleurs, les points conjugués p et p'de la fig. 2 sont toujours en collinéation avec un même point A. Or, on trouve bien dans la transformation gauche (fig. 1) que le conjugué d'un point de AA' est sur cette même ligne AA', et que le conjugué d'un point de BB' est aussi sur BB'. Il faudrait donc, pour pouvoir affirmer la coïncidence des deux méthodes, que les points conjugués O et O' fussent en collinéation avec le point 7, rencontre de AA' et BB'. Ainsi, les deux triangles AOB, A'O'B', auraient leurs sommets de même nom en collinéation avec un même point; mais alors il faudrait, d'après un théorème bien connu, que les points et l' fussent confondus en un seul, c'est-à-dire que les deux côtés homologues AB et A'B' se rencontrasssent sur la droite aß qui joint les rencontres (AO, A'O') et (BO, B'O'). Or cela n'est pas admissible, vu l'indépendance essentielle des quatre points A, A', B, B', relativement à la droite ll'.

XV. Explication de l'analogie des deux méthodes.Après avoir établi surabondamment que les deux modes de transformation sont bien distincts, je dirai que leur propriété commune, de doubler l'ordre des courbes transformées avec apparition constante de trois points mul

tiples, tient manifestement à ce que telle est la loi générale des transformations où un point correspond à un point unique, et réciproquement.

C'est ce que M. Magnus a démontré à l'aide des formules générales que j'ai rapportées précédemment. J'ajoute que par ces mêmes formules on trouvera sans difficulté que, généralement, il y a dans ces sortes de transformation quatre points qui sont à eux-mêmes leurs propres transformés, mais que, sous des conditions particulières qui sont inconciliables entre elles, ces points peuvent être en nombre infini:

1o Sur une conique quelconque, ce qui correspond à la méthode de M. Hirst;

2o Sur une droite accompagnée d'un point, ce qui correspond à la transformation gauche.

Nota. On vient de voir, en réalisant la transformation gauche dans le plan de la figure primitive, qu'il n'existe, en dehors de l'axe de transformation, qu'un seul point qui soit à lui-même son transformé. Ce résultat, qui s'explique par les formules générales de M. Magnus, et qui est décisif pour l'objet du présent article, se voit très-facilement par la projection gauche elle-même. En effet, si le point O', projection du point O, est tel, qu'après le rabattement du tableau sur le plan primitif ces deux points coïncident, il est manifeste que la ligne OO' doit être perpendiculaire au plan qui partage en deux également l'angle dièdre du plan primitif et du tableau. Cependant cette même ligne rencontre à la fois les deux directrices; elle est donc l'intersection des deux plans qui projettent orthogonalement ces mêmes directrices sur ce plan bissecteur. Or la détermination d'une telle ligne est unique. Donc, etc..

NOTE SUR LES LIGNES D'OMBRE ET D'OMBRE PORTÉE;

PAR M. OSSIAN BONNET.

Considérons une surface à courbures opposées Σ et circonscrivons à cette surface un cylindre dont les génératrices soient parallèles à l'une des asymptotes AS de l'indicatrice relative au point A. On sait que la courbe de contact passera par le point A et y sera tangente à la ligne AS; que la courbe d'ombre portée, c'est-à-dire l'intersection du cylindre circonscrit avec la surface Σ, passera aussi par le point A et y aura même tangente AS; enfin on peut ajouter que les plans osculateurs en A des deux courbes d'ombre et d'ombre portée se confondent avec le plan tangent en A à la surface E. Tous ces résultats sont bien connus et servent en Géométrie descrip tive pour la détermination des points remarquables auxquels on a donné le nom de points de passage; mais on n'a point encore déterminé, que je sache, les rayons de courbure et de torsion au point A des deux lignes d'ombre et d'ombre portée dont il s'agit. Or, si l'on appelle po et r les rayons de courbure et de torsion au point A de la ligne asymptotique tangente à AS (j'ai déterminé p, en fonction des rayons de courbure principaux et des dérivées de ces rayons de courbure dans une Note insérée au tome IV, p. 267, de ce journal; quant à ro, il est égal à

RR', c'est-à-dire à l'inverse de la courbure de Gauss), petr les rayons de courbure et de torsion de la ligne d'ombre, petr, les rayons de courbure et de torsion de la ligne d'ombre portée, on trouve, soit par le calcul, soit

SUR LA PLUS COURTE DISTANCE DE DEUX POINTS

SUR LA SURFACE DE LA SPHERE;

PAR M. JARRIGE,

Professeur au lycée de Saint-Étienne.

Soient A et B deux points situés sur la surface de la sphère, AB l'arc de grand cercle moindre qu'une demicirconférence qui passe par ces deux points, et M un point pris sur AB. Du point A comme pôle, avec le rayon sphérique AM, je décris un petit cercle; du point B comme pôle, avec le rayon BM, je décris un autre petit cercle. Ces petits cercles se touchent au point M et sont extérieurs l'un à l'autre, puisque l'arc AB est moindre qu'un demi grand cercle.

Cela posé, je dis que le plus court chemin de A en B passe par le point M. En effet, tout chemin ApqB ne passant pas par le point M coupe les petits cercles en p et q; or le plus court chemin de A en p est égal au plus court chemin de A en M (lemme connu), le plus court chemin de B en q est égal au plus court chemin de B en M (même lemme). Donc le chemin Apq B surpasse le plus court chemin de A en M plus le plus court chemin de M en B d'une quantité au moins égale au plus court

chemin de p en q. Donc le plus court chemin de A en B passe par le point M; donc il se confond avec AB, puisque M est un point quelconque de AB.

EXPRESSIONS GÉNÉRALES DU RAYON ET DE LA SURFACE DES POLYGONES CIRCONSCRIPTIBLES;

PAR M. GEORGES DOSTOR,

Docteur és Sciences mathématiques,

Professeur au lycée impérial de l'île de la Réunion.

1. La question que nous nous proposons de résoudre est la suivante :

Un polygone de n cótés est circonscrit à un cercle; on connaît les tangentes a, ß, 7, d, ɛ,... menées des différents sommets du polygone à la circonférence : calculer, en valeur de ces tangentes, le rayon du cercle et la surface du polygone.

2. Désignons par 2A, 2B, 2C,... les angles du polygone respectivement compris sous les tangentes (α, α), (B,B), (7,7),..., nous avons l'égalité

où c, désigne la somme des cotangentes, c, la somme des