DE

MATHÉMATIQUES.

INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

des coefficients des variables dans les équations des courbes et des surfaces du second ordre (*);

PAR M. H. FAURE,

Capitaine d'artillerie.

I. Considérons la conique

A11 α2 + A22 ß3 + A, 72 + 2 A12 xß + 2 A13 x + 2 A23 By

11

12

13

0=

rapportée au triangle de référence ABC. Si l'on désigne par c1, c, les points d'intersection de la conique avec le côté AB, les droites cc,, cc, seront données par l'équation

α a2

de sorte que si sont les deux racines de cette équa

βι βι

tion, on a, en désignant par a, b, c les longueurs des côtés du triangle ABC,

(*) Les notations seront les mêmes que dans notre Mémoire sur les coordonnées trilinéaires (2a série, t. II, p. 289).

mais les quatre points A, c1, c2, B donnent

donc, en désignant par c' la longueur c1 c2,

que,

On sait si par un point A on mène une droite arbitraire AB, rencontrant la conique aux points c1, c2, le rapport du produit Ac,. Ac, au carré du demi-diamètre C parallèle à la droite est constant. Désignons ce rapport par pour le point А, par л, π, pour les deux autres sommets B et C. Nous aurons

de sorte que l'équation de la conique s'écrit sous la

Les expressions sous le signe donnent chacune deux autres termes par une simple permutation. Les quantités a', b' seraient les cordes de la conique déterminées par les côtés a, b du triangle de référence; A, B les demidiamètres parallèles à ces mêmes côtés.

La forme sous laquelle se présente l'équation de la conique permet d'écrire immédiatement l'équation d'une conique circonscrite, conjuguée ou inscrite au triangle de référence.

Si la conique doit étre circonscrite, on a

l'équation est donc, en remarquant que a' = a, b' = b,

car cette condition signifie que les points A, B sont conjugués harmoniques par rapport aux points d'intersection c1, c, de la droite AB avec la conique. En effet, dans

ce cas, on a

AB.c, c2:

-- 2 Ac2. Bc1, AB.c,c2 = Ac, Bc2.

(Géométrie supérieure, p. 42.)

II. Au moyen d'un calcul analogue au précédent, l'équation de la surface du second ordre, rapportée au tétraèdre de référence ABCD, se met sous la forme

Dans cette équation, a, b, c, d sont les aires des faces. opposées aux sommets de même nom; est la longueur de l'arête ab; l' la partie de cette arête comprise dans la surface, et L le demi-diamètre parallèle à l'arête l. Les quantités T, T,... sont, comme ci-dessus, les rapports constants que l'on obtient en divisant le produit des segments déterminés sur une droite issue des points A ou B par le carré du demi-diamètre parallèle à la droite.

Les distances d'uu point de la surface aux faces respectives a, b, c, d étant désignées par a, ß, d, 7, une simple permutation de lettres suffira pour écrire tous les termes de l'équation.

Si

Surface circonscrite au tétraèdre de référence. la surface du second ordre passe par les sommets du tétraèdre ABCD, on a

l =

comme, de plus, l', l'équation est