Nous observerons que si l'Empereur, auquel nous devons la restauration du monument, étoit fils d'un autre Empereur, ce qui n'est point, l'inscription porteroit en entier, ou au moins par la première syllabe, le nom du père; ainsi que les anciennes inscriptions l'attestent et que l'usage l'a consacré assez généralement.

Quant au titre de réparateur (restitutori), à quel autre Empereur peut-il mieux appartenir qu'à Valentinien? puisqu'il a sauvé Arles de deux siéges, qu'il a renforcé les monumens servant à sa défense, et qu'il a restauré les bornes milliaires. Ainsi tout coïncide avec l'opinion que nous venons d'émettre, que la restauration de cette partie d'Arles et l'inscription, appartiennent à ce prince vraiment restaurateur de notre ville.

VERAN, Notaire, à Arles.

ANALYSE des travaux de la Classe des sciences mathématiques et physiques de l'Institut impérial, pendant l'année 1811; par M. le Chevalier DELAMBRE, secrétaire perpétuel.

PARTIE MATHÉMATIQUE.

ANALYSE.

MÉTHODES sur les intégrales définies et leur application aux probabilités, et spécialement à la recherche du milieu qu'il faut choisir entre les résultats des observations, par M. le Comte LAPLACE.

A

La théorie des probabilités est une de celles auxquelles M. le comte LAPLACE s'est appliqué dès son entrée dans la carrière analytique, et auxquelles, à différentes époques, il a ajouté des accroissemens notables; ainsi, outre plusieurs Mémoires importans qu'il a publiés dans les volumes de l'Académie des Sciences ou de l'Institut, et ce qu'il a dit sur ce sujet dans ses leçons à l'Ecole normale, ou dans son Exposition du système du Monde, il a donné dans l'Annuaire un extrait de sa Doctrine. Là, se mettant à la

portée d'un plus grand nombre de lecteurs, il a composé un précis lumineux où chacun peut prendre une idée des vues fines et profondes qu'il a développées ailleurs d'une manière plus mathématique et plus rigoureuse. Le Mémoire que nous annonçons est plus particulièrement destiné aux géomètres capables de suivre son analyse savante; c'est dire assez que cette nouvelle production est du genre de celles dont les historiens de l'Académie des sciences se contentoient d'annoncer les titres, en renvoyant, pour le fond et les détails, aux Mémoires mêmes. Nous sommes donc forcés à suivre cet exemple; car, des deux des deux parties que l'on peut distinguer dans le nouveau Mémoire de M. le comte Laplace, la première et la plus courte est une introduction historique dont on ne pourroit rien retrancher sans la rendre obscure ou incomplète, et dans laquelle on remarquera des vues neuves sur les rapports qui existent entre les différentes branches de l'analyse moderne, sur le passage du fini à l'infini, et du réel à l'imaginaire.

La seconde, qui est toute analytique, seroit plus susceptible de développement que d'extrait. L'auteur lui-même a réservé plusieurs démonstrations pour un ouvrage qu'il va bientôt publier sur les probabilités. Nous

ne pourrions mieux terminer notre notice que par cette annonce, qui ne peut manquer d'éveiller l'attention et la curiosité des géomètres, si, parmi les applications que M. le comte Laplace a faites de ses formules et dans ces formules mêmes, nous n'apercevions un point qui concerne deux analystes célèbres, et qui doit trouver sa place dans cette histoire des travaux de la Classe. C'est le passage où M. le comte Laplace, parlant des moindres carrés, dit que cette méthode, proposée par MM. Legendre et Gauss, et qui jusqu'à présent ne présentoit que l'avantage de fournir, sans aucun tâtonnement, les équations finales nécessaires pour corriger des élémens, donne en même temps les corrections les plus précises. Les savans qui n'auroient pas les ouvrages cités, pourroient désirer connoître de que cette méthode a dû particulièrement aux trois géomètres éminemment distingués, qui l'ont successivement employée et enrichie.

M. LEGENDRE, en s'occupant du problême des comètes en mars 1805, chercha le premier à fournir aux astronomes une règle sûre qui pût les diriger dans l'emploi d'un nombre d'équations approximatives, supérieur de beaucoup à celui des inconnues dont ils ont à déterminer les valeurs. L'er

reur inévitable des observations sur lesquelles les équations sont établies, fait qu'il est impossible de les satisfaire toutes à la fois; et qu'en prenant le système qui résulte de l'ensemble des observations, il arrive qu'aucune n'est plus rigoureusement satisfaite. Tout ce qu'on peut prétendre alors, c'est que les erreurs soient les moindres possibles, qu'elles soient également distribuées, qu'aucune ne surpasse l'erreur probable des observations. Pour approcher le plus des véritables valeurs, M. Legendre propose un principe d'après lequel la somme des carrés des erreurs doit être un minimum.

et

Cette méthode qu'il ne fait d'abord qu'indiquer sans donner l'analyse qui a pu l'y conduire, il en a fait, à la suite de son Mémoire, le sujet d'un appendice où il lui donne plus de développemens. Il pense que, de tous les principes qu'on peut proposer pour cet objet, il n'en est pas de plus général, de plus exact, ni d'une application plus facile. Par ce moyen, ajoute-t-il, il s'établit entre les erreurs une sorte d'équilibre qui empêche les extrêmes de prévaloir.

Si, par un hasard singulier, il étoit possible de rendre toutes les erreurs nulles, il montre qu'on obtiendroit infailliblement ce résultat par sa méthode, et c'est une remarque importante.

Tome I. Janvier 1812.

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