Si, après avoir déterminé les inconnues, on en porte la valeur dans chacune des équations, au lieu de les voir réduites à zéro, on trouvera communément une valeur qui sera, pour chacune des observations l'erreur des élémens corrigés, et l'on ne pourra diminuer ces erreurs sans augmenter la somme de leurs carrés (p. 74).

M. Legendre prouve ensuite que la règle, par laquelle on prend un milieu entre les résultats des différentes observations, n'est qu'une conséquence très-simple du principe des moindres carrés. Cette remarque est d'une grande importance, en ce qu'elle paroît autoriser les astronomes à prendre la somme de plusieurs centaines d'observations pour en former une équation finale, qui en présentera la moyenne; à réunir ainsi plusieurs groupes d'équations particulières, pour en former autant d'équations finales qu'on le jugera convenable, et auxquelles enfin on appliquera la méthode des moindres carrés sans s'engager dans des calculs interminables. Cette remarque pouvoit déja passer pour une sorte de démonstration; mais ensuite, par. un rapprochement heureux, M. Legendre ramène ses formules à celles par lesquelles on trouveroit le centre de gravité de plusieurs masses égales situées autour d'un nombre de points donnés. Il en conclut que

son principe fait connoître en quelque sorte, le centre, autour duquel viennent se ranger tous les résultats fournis par l'expérience, de manière à s'en écarter le moins possible.

Pour éclaircir encore la méthode, après l'avoir appliquée à perfectionner les élémens de sa comète, il en fait l'application à la dernière mesure de la méridienne. Il avoit à déterminer l'aplatissement le plus probable qui résultoit des quatre arcs mesurés, et la correction du quarante cinquième degré, connu à peu près par les calculs des membres de la commission.

Il falloit trouver ces deux inconnues en se tenant aussi près qu'il étoit possible des cinq latitudes observées. Il exprime les erreurs des cinq latitudes latitudes en fonction des deux inconnues, et sa méthode le conduit à un aplatissement de, et à un quarantecinquième degré plus foible de 12 toises et demie qu'on n'avoit supposé. Cet aplatissement lui paroît trop fort, et son degré trop petit, mais les erreurs des latitudes n'excédoient guères les erreurs qu'on peut, à toute force, y soupçonner; il suppose ensuite l'aplatissement, mais alors les erreurs des latitudes, trouvées par sa méthode, vont à 3, 4 et même près de 6 secondes; ce qui n'est guères moins invraisemblable.

Tels sont les principes et les résultats de M. Legendre; nous avons dû les rappeler ici, parce que son Mémoire ayant été imprimé ailleurs, il n'en a été jusqu'ici fait aucune mention dans les volumes de l'Institut.

Dans ses précédens écrits sur l'arc du méridien, M. Legendre n'avoit, en aucune manière, indiqué la méthode qu'il a nommée des moindres carrés; ce qui paroît prouver qu'en 1799, il n'en étoit pas encore en possession.

Boscovich, longtemps auparavant, s'étoit proposé de faire que la somme des erreurs positives fût égale à celle des erreurs négatives; et c'est le but vers lequel avoient toujours tendu les astronomes dans la construction de leurs tables. Il vouloit, en outre, que la somme des erreurs, sans distinction de signes, fût la moindre possible, et c'est encore ce à quoi tendoient implicitement tous les astronomes; mais, pour y arriver plus sûrement, il donnoit, suivant son usage, une construction graphique du problême,, à laquelle on pouvoit appliquer le calcul, quand on cherchoit une plus grande précision. Il est à remarquer même qu'il y faisoit entrer le centre de gravité de tous les points extrêmes des abscisses qui, dans sa construction, représentoient les de

grés mesurés; car c'étoit aussi à l'occasion de la figure de la Terre qu'il avoit entrepris ces recherches..

M. le comte Laplace, en adoptant les idées principales de Boscovich, traita le même problême d'une manière plus analytique et plus rigoureuse dans le second volume de la Mécanique céleste, et il fut conduit à un aplatissement de presque aussi fort que celui de M. Legendre, son quarante-cinquième degré différoit un peu moins de l'arc adopté, les erreurs des latitudes étoient à peu près les mêmes; ainsi deux méthodes absolument différentes menoient à des résultats presque identiques.

M. GAUSS, dans sa Théorie des mouvemens des corps célestes, publiée en 1809, cherche à déterminer le degré de probabilité d'un système d'élémens pour une planète, d'après un nombre considérable d'observations. Il parvient d'abord à une équation insoluble, ce qui le force à changer sa marche. Il cherche sur quelle fonction, prise tacitement pour base, est appuyé le principe vulgairement adopté, que le résultat moyen, entre plusieurs observations également bien faites, donne la valeur, non pas la plus rigoureusement exacte, mais au moins la plus probable; par cette marche

inverse, sa démonstration a beaucoup d'analogie avec celle de M. Legendre.

En partant d'un théorême élégant de M. le comte Laplace, il arrive à une fonction où l'on voit figurer expressément la somme des carrés qui doit être un minimum. Il en conclut que le principe dés moindres carrés a la même certitude que le principe ordinaire qui accorde la plus grande probabilité au moyen arithmétique.

Mais il remarque que cette conséquence ne peut être vraie que dans la supposition où toutes les observations méritent la même confiance; et, pour rendre le principe plus' général, il multiplie chacun des carrés par un coefficient qui exprime la probabilité de l'observation à laquelle il se rap porte, et c'est la somme ainsi modifiée qui doit être un minimum.bom

Il examine ensuite si l'élimination des inconnues est toujours possible, et par quels artifices de calculs on peut la rendre praticable en certains cas où elle ne paroîtroit pas l'être.

Il ajoute que ce sujet peut donner lieu à plusieurs recherches analytiques, très-élégantes, qui l'éloigneroient trop de son objet principal; il remet à une autre occasion les moyens de réduire le calcul numérique à