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argument n'est donc pas veritable, fi du nombre done on ne fouftrait aucun nombre, le nombre doné demeure, il faudroit dire, fi du nombre done on ne fouftrait rien: mais nous ne ferions plus dans fon hiporre, car il fupose qu'on en fouftraye

I'vnité.

Steuin, pour prouuer quel'vnité eft nombre, dit encor, quoy qu'indirectement, (car c'eft en faisant autre chofe) que I'vnité eft diuifible, & alegue plufieurs questions de Diofante, où il cft parlé de diuifer l'vnité, en fuite de quoy elle doit eftretenuë pour nombre, puis qu'elle a des parties. Ie répons à cer argument, que quand le terme numeral s'entend des parties du continu, lequel fe peut diuifer à l'infiny, come enfegnent les Filofofes, à lors il n'y a point de doute,que l'vnité est diuifible, come partie de grandeur, & non pas come vnité nume rale. Mais parce qu'à demeurer dans les termes du vray nom bre, le nombre propre & naturel eft la quantité difcrete, c'est à dire la multitude d'vnitez: que la grandeur ou quantité continue, ne l'eft que par diuifion actuele ou imaginaire; & que, pour les raifons que i'ay dites en la premiere queftion, I'vnité numerale eft indiuifible: l'Aritmetique fpeculatiue, qui ne confidere que les nombres, n'admet aucunement sa diuifion, autrement fes demonftrations ne fe pouroient pas verifier de tous nombres. Car fi ic dis, par exemple, qu'à tróis nombres donez on peut toujours trouuer vn 4o proportionel, cete propofition eft fauffe en nombres composez d'v nitez difcretes & indiuifibles de leur nature. Que les nombres donez foient 2. 3. 5 par lesquels nombres foient entendus des Anges, il eft certain qu'il eft impoffible de leur trouuer vn quatrième proportionel, parce que l'vnité, qui eft icy vn Ange, eft indiuifible, & qu'il n'y a point de tiers ny quart d'Ange. Cete propofition ne pouroit donc eftre vraye qu'en grandeur, ou quantité continue, qui n'eft pas de quoy il eft question en l'Aritmetique fpeculatiue, laquelle confidere feulement les nombres & non pas la grandeur, parce qu'elle n'eft nombre que par reprefentation, c'eft à dire, entant qu'eftant diuifée en parties égales, chacune reprefente la mefme chofe que l'vnité au nombre. Et parce que n'estant pas nombre, elle eft indiferente à reprefenter toutes fortes

de

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de nombres, felon la diuifion qu'elle reçoit de là vient que fes parties n'eftant pas plutôt vnitez que dualitez, douzaines, centaines, &c. elles font toujours capables d'eftre duifées en tant de parties qu'on voudra, come estant toutes quantitez continues, qui par consequent se peuuent toujours diuifer. Et ainfi les nombres propofez eftans representez par les lignes A, B, C, on leur poura trouuer vn quatriefme proportionel, ou plutot vne ligne quatriéme proportionele, laquelle fera en nombres 7.

D

C

A

3

BH

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c'est à dire 7. des mefmes parties, dont A en contient 2. & ▼ne demie de plus, ou pour micus dire, fans fe feruir de nombres rompus, la ligne D, contient 15. des mefmes parties, dont A, en contient 4. B, 6. C, 10. ou fi on veut, les lignes A, B, C, D, feront 12. 18. 30. 45. & tels autres nombres qu'on voudra, en mesme proportion, come eftans capables de toutes diuifions. Il ne faut donc pas s'étoner fi l'Aritmetique fpeculatiue ne diuife pas l'vnité, puis que ce feroit traiter d'vne chofe qui eft hors de fon objet. Ie fay bien que la fuputatrice ou pratique, laquelle s'acomode aus afaires humaines, où il s'agit le plus fouuent de la diuifion du continu, eft contrainte d'admetre les fractions, mais auffi ne fait elle gueres d'operations, que fes nombres ne foient apliqueż aus parties de la grandeur; come dans les calculs Aftronomiques, les degrez, minutes, fegondes, &c. ne font que des parties de lignes circulaires, & les finus, lignes droites. Et en tous les contes iournaliers des monoyes, on ne fait autre chofe que diuifer le continu, pour le moins par equiualence, conie lors qu'on dit, que la piftole vaut 10. francs, & qu'on done en change 10. pieces d'argent, c'est en efet la mefme chofe que fi on la diuifoit en io. parties égales actuelement; & chacune de ces pieces d'argent eft en valeur la mefme chofe que feroit chacune des 10. pieces d'or, en quoy elle feroit diuifce. Si donc nous voyons en plufieurs proble mes d'Algebre, come chez Diofante & ailleurs, l'vnité diuisee

en plufieurs parties, c'eft que les termes numeraus ne fe peuuent alors entendre que de la quantité continuë. Et ainfi l'autorité de Diofante & des autres Aritmeticiens ne fait rien contre nous ; & Steuin s'est embaraffé dans ses imaginations, pour n'auoir pas feu faire ces diftinctions.

Il adioufte encores, que les diftinctions de ceux qui difent, que l'vnité n'est pas diuifible, ne peut oprimer la nature du nombre. C'est ce que ie luy auoüe: auffi cete propofition ne détruit-elle pas fa nature; mais pourtant toutes fes raisons ne font pas capables de me faire croire, que l'vnité foit nombre, ny que l'effence de chaque chofe puiffe eftre diuisee en parties fifiques ou quantitatiues.

le dis en fegond lieu', que l'vnité eftant comparée à d'autres nombres, & meflée auec eus, peut eftre prife pour nombre, quoy qu'improprement. La raifon eft, qu'elle eft partie conftitutiue du nombre, & partant a proportion auec quelque nombre que ce foit, puis qu'elle les mesure tous : qu'elle reprefente toute forte de nombres figurez par vne impropre multiplication de foy-mefme, & qu'en vn mot elle a toutes les proprietez des nombres, excepté la pluralité des parties & la diuifion, lefqueles chofes ne fe confiderent pas toujours dans les Teoremes numeraus: ce qui eft caufe qu'on peut démontrer plufieurs propofitions de l'vnité meflée aucc d'autres nombres, de mefme que de plufieurs nombres comparez ensemble. Et pour cete raifon nous l'apelerons quelquefois nombre dans des propofitions numerales, quoy qu'elle foit plus proprement partie de nombre que nombre,

De tout ce que nous venons de dire, il est aifé de conclure, qu'il y a quelque raport & reffemblance entre le point de la quantité continue, & l'vnité du nombre: mais que d'autre part il y a de tres grandes & fignalees diferences. Ce qu'il y a de comun entre l'vn & l'autre, eft, que tous deus font indiuifibles, n'ont pas pluralité de parties, & par confequent ne font point de quantité. Les diferences font, que I'vnité eft partie du nombre, & qu'eftant repetée elle le conftitue, au lieu que le point n'eft pas partie du continu, n'a point de proportion auec le continu, & qu'eftant repeté tant de fois qu'on youdra, il ne fauroit le compofer. De

plus, le point n'eft à proprement parler qu'vne chose imaginaire conçeüe telle qu'elle eft definie, mais qui en efet ne fe trouue pas dans le continu, à caufe des abfurditez qui s'enfuiuroient, fi on admetoit des poins réels, come remarquent les Filofofes naturels au traite de la quantité: I'vnité au contraire, eft reele dans le nombre, puis qu'elle eft fa partic, & qu'elle le compose.

Ainfi on voit que nous ne fomes pas de ceus, qui croyent que l'vnité foit au nombre la mesme chofe que le point à la grandeur; & que ce n'eft pas contre nous que Steuin fait tant de piteufes exclamations, pour raison de cete opinion. Ie ne fay, à dire le vray, à qui s'adreffent fes doleances, ny contre qui il inue&tiue fi fort à ce fujet, n'ayant iamais leu aucun auteur,ny conu perfone tant foit peu Geometre & Aritmeticien, qui fût de cet auis, ny qui s'imaginât rien de fi extrauagant.

VESTION V

Que c'est que proportion proportionalité
pour les nombres.

LA proportion des nombres eft l'habitude, comparaison,

ou raport d'vn nombre à vn autre, felon ce qu'vn nom bre eft égal, multiple, partie, ou plufieurs parties d'vn aus tre nombre: ou bien le contient vne ou plufieurs fois, & de plus fa partie, ou plufieurs de fes parties.

Ainfi l'habitude de 4. à 3. eft la proportion de 4. à 3, & cete definition contient toutes les efpeces qui s'en peuuent imaginer.

Car les nombres font egaus, ou inegaus: & de cete rre diuifion des nombres comparez enfemble, vient la 1re diuifion de la proportion, en proportion d'egalité, & proportion d'inegalité.

La proportion d'egalité, eft celle qu'il y a entre deus nom bres egaus, come 4. & 4:

La proportion d'inegalité, eft celle qui fe trouue entre

La proportion d'egalité ne fe fubdiuife point.

Celle d'inegalité eft, ou de grande inegalité, ou de moin dre inegalité.

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La proportion de grande inegalité, eft celle qu'il y a du plus grand nombre au moindre, come de 7. à 2. La proportion de moindre inegalité, eft celle qu'il y a du moindre au plus grand, come de 2. à 7. Et ne faut pas croire, que cete diuifion foit invtile, car il y a grande diference entre la pro portion de 7. à 2. & celle de 2. à 7. puis que ce n'est pas le mefme de comparer le plus grand au moindre, que de com. parer le moindre au plus grand.

Si le plus grand eft comparé au moindre; ou le plus grand contiendra le moindre vne ou plufieurs fois exactement, & en fera multiple, come 48. de 6. lequel il contient 8. fois; ou le contiendra vne ou plufieurs fois, & de plus fa partie aliquote, come 36. à l'egard de 8. lequel il contient 4. fois, & 4. de plus qui eft moitié de 8: ou bien le plus grand nombre contiendra le moindre vne ou plufieurs fois, & de plus plufieurs de fes parties ne faifans pas vne partie aliquote, come 46. à l'egard de 8. lequel il contient s. fois, & 6. de plus, lequel nombre de 6. n'eft pas partie aliquote, mais plufieurs parties aliquotes de 8, fauoir. ou 2.

Que fi le moindre nombre eft comparé au plus grand, il faut que le moindre foit partie ou plufieurs parties du plus grand: partie, come 3. à l'egard de is. parce que 3. eft la se partie de 15: plufieurs parties, come 2. comparé à 9. sauoir.

Voila toutes les fortes de proportions qu'il eft poffible de conceuoir outre deus nombres, quels qu'ils foient: mais pour les grandeurs, il n'en eft pas de mefmes, car il s'y peut encores rencontrer d'autres proportions, que toutes celles-cy, lefqueles pour cete heure ne font rien à notre fuiet, non plus que les diuerfes diuifions de proportions numerales, que le Lecteur poura voir ailleurs.

: Or de mefme que les nombres fe comparent les vns aus autres, & & que cete comparaifon ou raport s'apele proportion, les proportions fe comparent auffi entre elles: & cete com

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