blables. Or I, eft quaré du moyen proportionel E, & partant 417.69 a fes cotez egaus: donc auffi K, qui a fes cotez proportionaus à ceus d'I, les aura auffi egaus,& par confequent fera quaré, & son coté sera moyen proportionel entre D, F, puisque 617.6. estant multiplié par foy mefme, le produit fera egal à celuy de D, F.

COROL

Si deus nombres ont proportion de nombre quaré à nombre quare, il y a entre eus vn moyen propor tionel. Car puifqu'il y en a vn 'entre deus quarez, il y en aura auffi entre deus nombres qui auront la mes me proportion, par ce dernier Teoreme.

PROP. XV. TEOR. XIV.

Si deus nombres font plans femblables, ils auront proportion de nombre quaré à nombre quaré.

Que les nombres B, C foient plans femblables. Ie dis qu'ils ont proportion de nombre quaré à nombre

quaré. Car puifque B, C, font plans fem- B12. D6. C 3. blables, il y a entre eus vn moyen propor- F4. G 2. HI. tionel, lequel foit D: & qu'F,G, H foient

les

C1. Cor.

13.1.

26.8.

diz.p

3. moindres de la proportion de B, à D; les extremes F,H, feront quarez. Or par egalité de proportions B, eft à C, ecor. come F,à H; donc B, eft à C, come le quaré F, au quaré H. "..

PROP. XVI. TEOR. XV.

Si entre deus nombres il y a vn moyen proportionel: ils font plans femblables.

Qu'entre les nombres B, D ily ait vn moyen proportionel C. le dis qu'ils font plans femblables. Que les nombres F, G, foient les moindres de la proportion de B, C, lefquels par confequent ils mefureront

B8. C12. D 18.
F 2. G3. 14. K6.

egalement; que ce foit par 1: & par mefme raifon ils me

F

20.8,

fureront egalement C, D; que ce foit par K.

a 4 ax. Et partant I, multipliant F, G, "produit B, C ; & K, multi pliant F, G, produit C, D. Donc puifque G, multipliant I, K, produit Ĉ, D; y a mefme proportion de C, à D, c'eft à dire de B, à C, que d'I, à K.

il

B: C12. D 18.'

F2 G3, 14. K6.

Or B, par la construction eft à C,come F,à G;donc come F,à G,
ainfi I, à K: & en permutant come F, à I, ainfi G, à K.
Et parce que F, I, produifent B, & que G, K, produifent
D; B, D, font plans femblables par la definition.

COROL

Si deus nombres se multiplians I'vn l'autre produi fent vn quaré, ils font plans femblables. Car le coté de ce quaré fera moyen proportionel entre cus; & par tant ils feront plans femblables,par cete propofition.

ANOTATION.

De tout ce qui a efté dit, il s'enfuit que,

1. Deus nombres immediats ne font pas plans semblables 3 e13. p. cars'ils l'eftoient, il tomberoit entre eus vn moyen proportio nel, & partant ils ne feroient pas immediats.

2. Deus nombres qui ont proportion de nombres immediats, come tous les nombres qui font en proportion double, lefquels font come 2. à 1.nombres immediats, ne font pas plans femblables, car il tomberoit entre eus un moyen proportionel, 414.7. & par consequent entre les deus immediats qui font de leur proportion: ce qui eft abfurde.

3. Deus nombres premiers entre eus, qui ne foient pas qua13.prez, ne font pas plans femblables, car il tomberoit entre eus 11. p. Un moyen proportionel; & parce que tous les trois feroient les moindres de leur proportion, les extremes eftans premiers

entre eus par l'hipotefe, il s'enfuiuroit que les mefines extre<mes feroient quarez,contre l'hipotefe.

di.as:

Donc

par

la de

4. Tous nombres premiers en quelque multitude qu'ils foient, ne font pas plans femblables. Car n'ayans autres cotez qu'eus mefmes & l'unité, ces cotez ne feront iamais proportionaus, puisqu'il n'y aura iamais mefme proportion de l'unité à un nombre, que de l'unité à un autre nombre. Par exem-. ple, les nombres 3. & 5. ont pour tous cotez 1, 3, & 1,5, fans qu'ils en ayent d'autres, non d'autres, non plus que plus que les autres nombres premiers, autrement ils ne feroient pas premiers. Or il n'y a pas mefme proportion d'1. à 3.que finition, 3.5. ne font pas plans femblables. Il ne faut pas neanmoins croire que tous nombres qui auront des cotez difproportionez, foient neceffairement plans diffemblables, fe pouuant faire qu'ils en auront outre cela d'autres qui feront proportionaus, ce qui leur fufira pour eftre plans femblables. Ainfi quoy que 12. 48. ayent pour cotez 2.6.&3.16. qui ne font pas proportionaus, ils ne laissent pas d'eftre plans femblables, ayans pour cotez 3. 4. 6. 8. qui font en mefme proportion.

5. Les nombres plans diffemblables n'ont pas proportion de nombre quaré à nombre quaré. Car s'ils l'auoient, il tombe-· roit entre eus un moyen proportionel; & partant ils feroient plans femblables, contre l'hipotefe.

Si deus nombres font premiers entre eus; leur compo fé fera premier à chacun d'eus.

Car fi D, compofé des nombres premiers entre eus B, C,

a Cor

13.8.

b Cor. 14.P.

0168

30.7.

n'eft premier à chacun d'eus, qu'E, foit mefure comune de 7.4x. D, B. Donc E, "mefurant le total D, & la partic B, mesurera auffi le refte C, & partant B, C, ne font pas premiers entre eus, contre l'hipotefe.

18. &

19.9.

с

B3. Cs
D8. E

A trois nombres donez trouuer vn 4 proportionel quand il eft poffible, & à deus vn 3.

E

Que les trois nombres donez foient B, C,D,à qui il faille trouuer vn 4. proportionel. Que C, multipliant D, produife G. Si donc B, mefure G, que ce foit par F. Ie dis qu'F, eft 4. proportionel à B, C, D. Car puif4. ax, que B, melure G, par F; multipliant F, il

B. C. D. F. G.

L. M. M.

produira G. Or G, eft auffi produit de la multiplication de 16. 6. C,D: donc B, C, D, F, font proportionaus.

C

Mais fi B, eft premier à G, il n'y aura point de 4. proportionel à B, C, D. Car autrement, qu'E, foit s'il eft poffible leur 4. proportionel. Donc B, multipliant E, produira 44.4x. G, & partant mefurera G, par E, contre l'hipotefe, puifque B, G, font fupofez premiers entre eus.

On trouuera de la mefme forte vn. 3. proportionel à deus donez, en prenant le fegond deus fois, & le multipliant par foy-mefme come au fegond exemple L, M.

ANOT.

que

des nombres en

Cere propofition ne fe doit entendre tiers, non plus que la plupart des propofitions de l'Aritmetique speculatine, parce que l'unité ne sy diuife point; mais lors qu'on peut diuifer l'unité, come il se peut aus nombres qui s'apliquent à la quantité continue, on trouuera touiours on 3.4° proportionel à 2. & 3. nombres donez, & en la

e

derniere figure B,mesurera touiours G, par un nombre entier, ou par une fraction.

PROP. XIX. TEOR. XVII.

Si plufieurs nombres pairs compofent vn seul nom bre; le total fera pair.

A4 B2 C6D

ي

Que les nombres pairs A B, BC, CD, compofent le nom bre A D. Ie dis que le nombre A D, est pair. Car puifque tout nombre pair a deus parties egales, fi aus moitiez des nombres pairs propofez, on adioute les autres moitiez, le total fera double de la fome des moitiez, & partant aura deus par ties egales.

12.

21.9.

a.6.def.

29.9

Si d'vn nombre pair on ote vn pair, le refte fera pair. Du nombre pair BD, foit oté le pair CD. Le dis que le refte BC, eft pair. Car fi cela n'est pas, en ayant oté l'vnité, le refte EC, fera pair, & partant auffi le compofé des deus pairs ED. Donc adioutant l'vnité à E D, le total BD, fera 7. def. impair, contre l'hipotefe. Le refte BC, eft donc pair.

B. E... C..D

Si d'vn impair on ote vn impair, le refte fera pair.

B..D..E.C

De l'impair BC, foit oté l'impair DC. Ie dis que le refte BD, eft pair. Car fi des impairs B C, DC, on ote l'vnité, les reftes BE, DE, feront pairs. Donc du nombre pair. BE, ayant oté le pair DE, le refte BD, fera & pair.

b 19.1.

26.9.

d20.