Pagina-afbeeldingen
PDF
ePub

Refutation de l'opinion de Steuin touchant l'origine des incomenfurables.

I

CHA P. IIII.

penfe pas qu'apres tout ce que ie viens de dire, on puiffe douter en aucune façon de l'origine des incomen. furables; & m'affeure que Steuin n'eut pas efté d'opinion contraire à la notre, s'il eut confideré toutes ces raisons; mais il y a bien de l'aparence qu'elles luy ont efté inconuës, puis qu'il les paffe fous filence, & ne fe met pas en pene d'y répondre, quoy qu'il l'eut deu faire pour établir fon opinion s'il les eut feuës. Voyons maintenant quelles font les fienes, pour prouuer que les nombres irrationaus ont doné conoiffance des grandeurs incomenfurables, & qu'ils font les premiers conus,

Il dit donc en la preface de l'origine de cete conoiffance, que come beaucoup de Teoremes de nombres fe décriuent par les grandeurs, qui feroient impoffibles par les fimples nombres, auffi fe trouue t'il fouuent que beaucoup de propofitions des grandeurs n'auroient pû eftre inuentées par les feules grandeurs, fans le fecours des nombres (ie ne m'amufe à raporter fes paroles mefmes, parce qu'elles font fort. rudes,vn Flaman s'eftant meflé de parler François.) Par exemple, dit-il, nous fauons que 1. eft incomenfurable à 2. mais come 1. à 22. ainfi le coté d'vn quaré à sa diagonale: donc le coté du quaré eft incomenfurable à fa diagonale. Et partant come il y a des nombres incomenfurables entre cus, &c. Où l'on voit que tout fon fondement n'est autre chofe finon que nous fauons que 1. eft incomenfurable à 2. Mais ie luy demande qui luy a donc apris, non pas que 1. est incomensurable à 2. mais mefmes ce que c'eft que B 2. & qu'il y ait aucune quantité qui foit 2. fi ce n'eft le raifonement Geometrique dont l'ay déja parlé, en fuite duquel l'ay fait voir , que ces nombres feroient inconus fans les grandeurs. Ce qui eftant ainfi, il est tres faus que nous fa. chions fans les grandeurs que 1. eft incomenfurable à 3× 2.--E¤

[ocr errors]

dot mous

à tous nombres femblables, puifque l'origine de ces nom bres depend des grandeurs, ou pour mieux dire, ce ne font que des grandeurs mefmes. Il n'eft pas vray non plus que nous ne conoiffions que par les nombres fours, que le co. té d'vn quaré foit incomenfurable à fa diagonale, puis qu'Euclide & fes interpretes le demonftrent aflés en la derniere du 10me, fans fe feruir que des nombres ordinaires, ce que nous ferons auffi fur la 7e ou 9° prop. du mefme liure.

Ce que dit Steuin des fimples lignes, il l'étend auffi aus compofées, difant que fur les douze efpeces de nombres ace font compofés apelés Binomes, on a formé les douze efpeces de des lignes lignes Binomiales, qui font, dit-il, infeparables des nom. bres, parce qu'vne ligne n'eft Binomiale, que par atribution Parler en du nombre, fe pouuant faire qu'vne mefme ligne, qui dans La 33 vne vile fera Binomiale, dans vne autre foit explicable par liure. vn nombre Aritmetique; & que partant ce n'eft que l'atri

comenco

rons à

prop. du

bution du nombre expliquant fa quantité, qui la rend telle. Or tout ce que nous auons dit des lignes fimples fe doit auffi entendre des compofees, & partant nous nions que les douze lignes Binomiales, ayent efté formées fur les 12. nombres Binomiaus, puis qu'aucontraire les noms des nombres Binomiaus n'ont esté inuentés que pour exprimer plus facilement les lignes Binomiales. Il n'eft pas vray non plus que les lignes ne foient Binomiales, que par atribution de nombre puis qu'elles font telles d'elles mefmes, & de leur nature, eftans formées fur la mesure de quelque autre fans aucune confideration de nombre irrationel, come il fera aisé de le conoitre en la 43. prop. & aus 5. fuiuantes. Et bien qu'vne ligne puiffe eftre expliquée par vn nombre irrationel dans vne vile, qui dans vne autre le poura eftre par vn nombre ordinaire, ce n'eft pas à dire que ce foit le nombre qui la ren. de rationele ou irrationele, mais feulement la proportion qu'elle aura auec quelque autre ligne qu'on fe fera propofée, come iel'ay déja remarqué: fi bien qu'eftant comparée auec d'autres lignes que celle là, il s'en poura trouuer vne infinité d'autres à qui elle fera comenfurable, auquel cas les denominations de 10. 3. &c. ne luy conuiendront plus ; & la mefme ligne qui au regard de quelqu'vne eft R8. fera par

[ocr errors]

la

la feule comparaison auec vne autre, 2. 3. &c. & non par feule atribution des nombres, puis qu'ils ne luy conuienent qu'en fuite de ces comparaisons.

Que les nombres Geometriques font auec raifon apeles fours 5 irrationaus.

ST

CHAP. V.

Teuin se persuadant que les nombres Geometriques font auffi parfaitement nombres, que les autres, & qu'ils constituent vne vraye efpece de nombre, ne trouue pas bon qu'on les apele irrationaus, abfurdes, fours, irreguliers, inexplicables. Deuant que de paffer outre, ie luy diray premie rement que ie ne pense pas que perfonne les ayt apelés irreguliers, parce qu'ils ne le font pas, & que leurs regles font tres certaines & affeurées; & quoy qu'on ne les nome gueres absurdes non plus, neanmoins demeurant d'acord de ce mot, par ce qu'il n'eft gueres diferent de celuy d'irrationel; ie luy, répons, afin qu'il ne fe mete pas en colere contre des noms, que les termes d'abfurde, d'irrationel, & d'inexplicable, veulent dire fimplement, qu'on ne peut pas bien expliquer ca qu'ils font: & celuy de fourd, qu'ils ne fe font pas bien entendre, qui eft en efet vne mefme chofe. Auffi eft il certain qu'ils ne fe peuuent pas bien exprimer en ce que pour en venir à bout il faut vfer de circonlocution lieu que les noms des nombres ordinaires difent netement ce qu'ils font. Par exemple, il eft certain que par ce terme 12. on veut defigner vn nombre qui foit plus de 3. & moins de 4. puis qu'eftant multiplié par foy mefme il produit 12. & que le quaré de 3. eft 9. & celuy de 4.. eft 16. Et parce qu'il n'y a aucun nombre, ny entier, ny rompu, quel qu'il foit, qui puiffe produire 12. eftant multiplié par foy mefme, & que Chap. partant on ne peut pas bien expliquer ce que c'eft, que par perifrafe, en difant que c'eft 12. on a eu raifon d'apeler ces nombres, inexplicables, come n'eftans pas nombres à proprement parler. De dire, qu'on defigne affés ce qu'ils font en

[ocr errors]

au

le

difant que c'eft R12.16. 15. &c, cela ne fe peut parce qu'encores que ce foit en efet vne proprieté de 12. de produire 12. cela neanmoins n'est pas affez dire, puifque R12. a en foy quelque chofe qui luy eft plus propre, & luy conuient premierement que de produire 12: de mefme que fi ie difois pere d'Alexandre, il eft certain que i'exprimerois en quelque façon, celuy dont ie voudrois parler, mais auffi que ie pourois bien m'expliquer mieus, puifque celuy que ie veus dire a quelque chofe de plus propre, & qui le peut mieus defigner, qu'en disant que c'est le pere d'Alexandre, qui est d'eftre Filipe de Macedoine, au lieu que d'eftre pere d'Ale xandre, ce n'eft en luy qu'vne relation accidentele. Et fans chercher des exemples hors des nombres, de mefme que 16.a bien cete proprieté de produire 16. par fa multiplication, mais eft plus proprement 4. que R16. ainfi R12. a quelque chofe en foy autre, que d'eftre coté de 12. mais il est impoffible de l'exprimer. Et cecy confirme entierement ce que i'ay dit auparauant, que ces nombres irrationaus ne font proprement & en efet que des grandeurs, & qu'ils ne font nombres que de nom, & par equiuoque; puis qu'il n'y a au cune multitude d'vnités où ils fe puiffent trouuer, mais bien des grandeurs, car on trouuera des lignes, des plans, & des folides qui feront precifement chacun en fon espece 20. B12. R40. &c. & feront voir de combien B212. excede 36& de combien il eft moindre que 4..

[ocr errors]

Apres auoir montre pourquoy les nombres Geometriques font apelés irationaus & inexplicables, il faut voir ce qu'alegue Steuin pour prouuer fon opinion. Les nombres Geometriques ne doivent pas, dit-il, eftre eftimés irrationaus, ou abfurdes pour eftre incomenfurables aus Aritmetiques, parce que l'incomenfurabilité ne cause pas abfurdité des termes incomenfurables, puifque la ligne & la fuperficie pour eftre incommensurables, ne font pas neanmoins abfurdes ny inexplicables: & pour le faire voir en des quantitez homogenées, c'est que le coté d'vnquare & fa diagonale eftans abftrais ou feparez des nombres, ne font pas lignes abfurdes

on irrationeles; en fin que fi l'incomenfurabilité caufoit abfurdité à l'une des quantitez comparées ensemble, le nombre Aritmetique feroit autant coupable que le Geometrique, de mefme que la Sfere & le cube font egalement cause de la dissemblace qu'il y a entre eus, & non pas plus l'on que l'autre. le pourois bien m'exenter de répondre à cete obiection, n'ayant pas dit que l'incomenfurabilité des termes fut caufe de l'abfurdité, mais ie ne laifferay pas d'y fatisfaire & de dire que Stcuin n'a pas pris le mot d'irrationel ou d'abfurde felon le fens des Aritmeticiens, & qu'on reconoit aifément par fon difcours qu'il n'ented autre chofe par ces mots que(hors de railon) ou (peu conuenable) qui n'eft pas la fignification que ie leur ay donée en ce chapitre mefme. Que pour les grandeurs heterogenées telles que font la ligne & la fuperfi cie, il ne faut pas s'étoner fi elles ne font pas apelées irrationeles à l'égard I'vne de l'autre, parce que l'irrationalité ne se met qu'entre des grandeurs homogenées, qui ont proportion I'vne à l'autre, & peuuent eftre comparées enfemble, telles que ne font pas la ligne & la fuperficie. Que pour la diago nale d'vn quaré elle n'eft pas irrationele, felon Euclide, ny par atribution de nombre, ny autrement, bien qu'eftant comparée au coté du mefme quaré, l'vne des deus ne fe puiffe exprimer que par vn nombre irrationcl: en quoy pourtant il n'y a aucune contradi&tion, come pretend en fuite Steuin, ny chcz Euclide ny chez les Aritmeticiens, puifqu'Euclide, fans parler des nombres fours, apele conftamment Rationeles, toutes les lignes, dont les quarez font Rationaus, telles que font celles qui s'expliquent par ces nombres 27.3. &C. parce que leurs quarez font 7. & 3. au lieu que les Aritmeticiens tienent pour irrationaus tous nombres qui ne peuuent eftre defignez que par leurs quarez, & qui par confequent portent le figne Radical: ce qui eft caufe qu'vne mefme ligne fera Rationele felon Euclide, & irrationele felon les Afitmeticiens, à caufe dé diucrfes acceptions des mots de Rationel & d'irrationel,

Sur quoy il faut remarquér, qu'encores que les termes des nombres irrationaus defignent neceffairement des grandeurs,

« VorigeDoorgaan »