l'équation générale des surfaces de lit des strates; cette équation doit contenir un paramètre variable 2, et un seul, puisque par un point donné il ne passe qu'une seule surface, ou si l'on veut encore, parce que toutes ces surfaces peuvent être considérées comme parallèles (1), ce qui implique la présence d'un paramètre et d'un seul. Soit, en outre :

l'équation de la surface du sol. En chaque point xo, yo, zo, passe une surface (7), telle que :

(9) %of (%0, yo, λo),

équation qui détermine la valeur particulière de λ correspondant au point considéré xo, yo, zo. L'équation du plan tangent en ce point à la surface particulière

sera :

Ꮓ

z = f (x, y, λo),

Z-%o= (X - X。) f'œ, + (Y — yo) f'y. ·

Les équations (1) devront donc s'écrire :

dans lesquelles il faut supposer λ remplacé par sa valeur tirée de l'équation

(10) f (xo, yo, λo) = Þ (Xo, Yo)

obtenue en éliminant zo entre les équations (8) et (9). Transportons dans la relation (6) les valeurs de m et n données par les équations (1'), et supprimons l'indice o devenu inutile; la condition d'intégrabilité devient alors:

c'est-à-dire :

f"sy+f" Xy = f"yx + f"yλ X'x,

(11) f"ock Xyf"yλ X'x.
Γυλλα.

Prenons la dérivée première, par rapport à λ, de l'équation (10); puis ensuite les dérivées par rapport à x et à y de l'équation ainsi obtenue; nous aurons successivement :

(1) Deux surfaces sont parallèles lorsque toute normale à l'une est normale à l'autre ; la portion de ces normales communes qui est comprise entre les deux surfaces est alors une longueur constante.

En remplaçant dans l'équation (11) ƒ”∞λ et ƒ“‚à par leurs valeurs tirées de ces deux dernières relations, la condition d'intégrabilité est ramenée à l'identité :

f"x Xx X'y=f"λ X'y Xx.

On peut donc toujours considérer comme réalisable géométriquement la surface auxiliaire que nous avons définie plus haut, et que nous appellerons surface stratigraphique. Proposons-nous maintenant de rechercher quelques-unes de ses propriétés.

Tout d'abord, quel mode de figuration devra t-on adopter pour cette surface, c'est-à-dire comment pourra-t-on rendre la carte qui la repré sentera facile à dresser et à consulter, et capable d'indiquer d'une façon précise la disposition des strates? Le procédé qui nous paraît devoir être adopté est le suivant: traits discontinus, parallèles aux courbes horizontales (hachures horizontales), à écartement et grosseur variant suivant la pente (1).

En effet, en un point quelconque, l'orientation et l'inclinaison des strates seraient données immédiatement par la direction et l'écartement des hachures. La carte stratigraphique serait donc relativement facile à dresser: de même que le nivellement de quelques points, la planimétrie une fois établie, permet au topographe de tracer au sentiment ses courbes de de niveau équidistantes, de même, après avoir déterminé l'orientation et l'inclinaison des strates en un certain nombre de points seulement, le géologue pourra tracer, en quelque sorte par une série d'interpolations successives, les hachures horizontales qui devront représenter la surface stratigraphique. D'un autre côté, le relief de cette surface étant mis en évidence par les hachures, et pouvant, dès lors, être saisi d'un seul coup d'oeil dans ses moindres ondulations, on aurait, de la sorte, une image fidèle, dans une certaine mesure du moins (2), de la disposition géométrique des strates. Enfin, tous les éléments de la stratigraphie superfi cielle étant donnés en grandeur et en direction par une telle carte, la

(1) Cette méthode a servi, en Angleterre, à l'exécution des cartes topographiques de comtés (county maps), à l'échelle de 6 pouces pour un mille, ou 1/10360° (6 inches maps).

(2) Je reviens, un peu plus loin, p. 9, sur ce point, afin de le préciser, et de montrer dans quelles circonstances la carte statigraphique fournit l'image même de la disposition des strates.

composition des coupes géologiques serait ramenée à un simple travail de report graphique, quelsque soient leur direction ou leur emplacement; car une construction géométrique fort simple peut donner l'angle de pente avec l'horizon de la trace sur le plan de coupe du plan tangent aux surfaces de lit. La composition d'une coupe deviendrait donc une opération tout analogue à celle que les géologues sont déjà dans la nécessité de faire lorsque, dans un travail préliminaire, ils commencent par chercher, à l'aide d'une carte topographique, le profil exact des terrains dont ils ont entrepris de montrer la constitution intérieure.

Quant à la formule qui devrait fixer l'écartement des hachures suivant la pente, on ne peut adopter celle qui se présente tout d'abord à l'esprit : écartement proportionnel à la cotangente de l'angle de pente. Cette formule, qui correspond au mode de représentation par courbes horizontales équidistantes, obligerait à employer des hachures infiniment rapprochées, c'est-à-dire une teinte entièrement noire, pour un angle de pente de 90°; or, des régions quelquefois assez étendues sont entièrement constituées par des couches verticales, et nous n'aurions pas la ressource, comme en topographie, d'adopter des conventions spéciales pour les angles de pente supérieurs à une certaine limite, de telles exceptions ne pouvant se justifier dans le cas actuel. Il reste donc à choisir quelque autre fonction trigonométrique, croissant depuis une valeur finie jusqu'à l'infini, pour un angle de pente variant de 90° à 0°. La plus simple des fonctions remplissant les conditions est évidemment la cosécante de l'angle de pente.

Une autre considération plus importante va nous conduire également à choisir cette même fonction. En effet, ne serait-il pas possible de mettre en évidence dans les cartes stratigraphiques la puissance des couches stratifiées? Considérons en un point de la surface du sol, supposé horizontal, un élément assez petit, pour que toutes les surfaces de séparation des strates y puissent être regardées comme planes et parallèles. L'élé ment correspondant de la surface stratigraphique sera lui-même plan. Appelons a l'angle de pente, et imaginons, parmi les surfaces de lit, une série de plans équidistants, leur équidistance étant égale à d; si nous considérons les intersections de ces plans avec la surface du sol, elles correspondent sur la surface stratigraphique à des hachures horizontales dont l'écartement est d cosec z. Généralisons ce résultat, et imaginons la surface stratigraphique représentée au moyen de hachures horizontales dont l'écartement serait coseca, étant l'échelle. Si nous considérons

d

n

1

n

une trajectoire orthogonale de ces hachures, et deux points quelconques a et b de la courbe correspondant à cette trajectoire sur le sol, on obtiendra la puissance des couches comprises entre celles qui affleurent en a et b en comptant les hachures depuis a jusqu'à b, les unes étant prises avec le signe +, les autres avec le signe —, selon que l'on montera, ou que l'on descendra, en suivant sur la surface stratigraphique le chemin qui réunit ces deux points. Cette propriété importante n'existe, il est vrai, que dans le cas où la surface du sol est horizontale; mais, outre que ce cas se présente quelquefois, nous allons voir bientôt que très souvent, les surfaces de lit sont disposées de telle sorte que la surface stratigraphique est indépendaute du relief du sol, et que celui-ci peut dès lors être supposé horizontal; la propriété que nous venons d'indiquer relativement aux hachures ne comporte plus alors qu'une restriction: il suffit, pour que l'on puisse appliquer la règle énoncée ci-dessus, que les deux points a et b soient à un même niveau. D'ailleurs, dans le cas général où la surface du sol est quelconque, les hachures à écartement proportionnel à cosec a peuvent encore beaucoup faciliter la recherche de la puissance des couches comprises entre les deux points a et b; seulement il est nécessaire de construire la coupe du terrain par la surface cylindrique, à génératrices verticales, qui a pour directrice la trajectoire orthogonale des hachures; cette coupe, développée au fur et à mesure de sa construction, donnera le résultat cherché.

Nous pouvons donc considérer comme étant le mode de représentation le plus convenable, les hachures horizontales à écartement proportionnel à cosec a. Si nous appelons la largeur de la hachure, B le blanc, N le noir, le diapason qui règlera la valeur de la teinte suivant l'inclinaison sera défini par la formule :

C'est à l'expérience de montrer quelles valeurs il conviendra de donner à d et à e, suivant l'échelle, et suivant les régions représentées ; peut-être y aura-t-il quelque utilité à faire varier e avec z, ou même à le faire varier avec l'orientation et le sens de l'inclinaison du plan tan

(1) Cette formule se trouve être de même forme que celle qui fut proposée, en 1828, par le colonel Bonne, des ingénieurs géographes, lorsqu'il s'agissait de choisir un diapason pour notre carte de France au 1/80 000°, â hachures parallèles aux lignes de plus grande pente; et. si on suppose ε=1/10° de millimètre, d=8 mètres, on retrouve, pour cette échelle du 1/80 000*, sa formule elle-même : - sin a.

N
N+B

gent, afin de rendre plus saisissant le relief de la surface stratigraphique, au moyen d'une sorte d'éclairement oblique.

Nous avons supposé jusqu'ici que la surface de lit et la surface du sol étaient quelconques. Or, en réalité, il n'en est pas ainsi ; par une approximation très légitime, et très suffisante pour la pratique, on peut presque toujours considérer ces différentes surfaces comme satisfaisant à des conditions particulières. Tantôt les surfaces de lit peuvent être considérées comme homothétiques, le centre d'homothétie étant à l'infini sur la verticale; ce serait le cas où l'équation (7) de la page 3 serait de la forme :

A un autre point de vue, ces mêmes surfaces peuvent être regardées comme parallèles, ce que nous avons déjà indiqué précédemment, et, en outre, comme développables, car les strates, antérieurement aux phénomènes de ploiements qui les ont affectées, étaient sensiblement planes. Remarquons toutefois que, par suite de pressions énergiques, ce caractére de développabilité aura pu être modifié assez profondément; dans ce cas les failles et les diaclases apparaîtront plus nombreuses ou plus importantes, du moins dans les terrains peu plastiques. Enfin, le sol n'est pas toujours ondulé; il peut se trouver plan sur un espace de quelque étendue.

Dans chacune de ces hypothèses, les rapports de ces différentes surfaces les unes avec les autres, surfaces de lit, surfaces du sol, et surface stratigraphique, présentent des particularités, que l'on peut énoncer sous forme de théorèmes, et dont la démonstration repose sur des considérations géométriques ou analytiques fort simples. Nous allons seulement indiquer quelques-unes de ces propositions, sans nous arrêter à leur démonstration.

A. En général, les courbes d'intersection des surfaces de lit avec la surface du sol, coupent, en projection, sous un angle fini les courbes ou hachures horizontales de la surface stratigraphique; pour que cet angle soit toujours nul, c'est-à-dire pour que ces deux sortes de courbes soient confondues sur la carte stratigraphique, il faut et il suffit que la surface du sol soit plane et horizontale.

B. Si toutes les surfaces de lit sont développables et parallèles, il faut et il suffit, pour que la surface stratigraphique soit développable, que la surface du sol soit plane.

C. Si toutes les surfaces de lit sont homothétiques, le centre d'homothétie étant à l'infini sur la verticale, la surface stratigraphique est indé