[devendo n'este ultimo termo tomar-se o signal + quando for m impar, e para m par]. 3 + m (x + h)m. 1 (2m = 3) + 2m-3 2m 1 2 2m -5 -1) (m2 = 2) (x + h)m m (m = 1) + 3 devendo para m par tomar-se agora o signal + d'este ultimo termo. Por exemplo para m=4, qualquer dos dois processos dá +384 (x+h) 2 −384 x 2-192 h x 2 + 48 h3 x 2-24 h3 x 2+15h+ x 2 2.1.2.3.4 e tanto n'este resto, como em geral quando m é qualquer, a presença do termo 1 (x + h) 2 diz que o segundo membro ha de ter a natureza do primeiro; e por isso será imaginario tambem, quando este o for. 1 Como ba, e geralmente (x + h) 2, representa uma extracção de raiz quadrada, não era necessario fazer o calculo, para mostrar que o resto da serie é da mesma natureza da funcção. Com effeito temos, sendo Na quantidade, q a raiz do maior quadrado contido n'ella, e r o resto, √Ng+r; e por consequencia r=√ N-q; isto é, o resto representa a differença entre a funcção dada, e os termos achados da serie: apparecendo assim de novo a funcção, a qual se fosse desenvolvida, reduzindo-se n'ella os termos iguaes a q, daria em resultado nova serie, em que seria tam bem indispensavel attender ao resto correspondente, e assim por deante, não sendo nunca possivel deixar de entrar a funcção na serie, quando esta se tiver completado. Outro tanto não acontece com expressões differentes, por exemplo com em que o resto da serie é representado pela quantidade hn n+1 (x + h)2 — 1, x+h como é facil de ver, applicando os methodos geraes, que temos exposto. Em 1785 ainda eram muito vagas e confusas as ideas, ácêrca da correspondencia entre a Algebra e a Geometria. Andavam então em lucta as duas escholas rivaes; a de Euler confiando cegamente nos resultados do calculo; e a de d'Alembert aceitando-os unicamente com as restricções impostas pelo bom senso. N'esta era ás vezes até exaggerado o escrupulo a ponto, de se combaterem proposições verdadeiras, como aconteceu por exemplo na resolução do problema das cordas vibrantes, a proposito da continuidade ou discontinuidade das funcções arbitrarias; com a celebre questão dos logarithmos dos numeros negativos, etc., etc. Não admira portanto ver as duvidas, que se levantavam ácêrca da maneira de interpretar as differentes soluções, dadas pela Algebra na resolução dos problemas de Geometria. Expunha-as d'Alembert nos seus Opuscules mathematiques; Thomaz Sympson na sua A Treatise of Alg. ; e muitos outros que interpretavam os resultados quasi sempre cada um a seu modo. Entre nós ainda em 1815 o sexto lente que então era da faculdade de Mathematica, o Dr. José Joaquim Rivara, publicava um folheto intitulado Resolução analytica dos problemas geometricos, onde com bastante trabalho e não menor infelicidade, tractava de aplanar as difficuldades de d'Alembert e de Sympson, e de corrigir Bezout e Lacroix, introduzindo á vontade soluções estranhas nas questões, e extasiando-se depois com a generalidade encontrada! Ahi se lê tambem a resolução do problema, mencionado n'este logar por José Anastasio da Cunha. No L. XIII dos Principios, pag. 164 da edição portugueza, e pag. 167 da traducção franceza, tinha o grande geometra portuguez dicto o seguinte: Problema VIII «Dada a base AB de um triangulo rectangulo em B, e a somma dos outros lados, «achar o lado BC. b2 — a2 2 b «Seja AB=a, AC + BC=b, BC=x. Será a2 + x2= (b— x)2, que dá x⇒ <«<solução sempre possivel conforme o calculo, sendo impossivel na realidade a solu«ção do problema, quando se propõe um valor de AB maior que o de AC+ BC.» O que ha quasi um seculo disse o insigne geometra não carece ainda hoje de ser rectificado. Discutamos com effeito a questão. As equações que em numeros traduzem o enunciado do problema geometrico são y2 = a2 + x2... (1); y+x=b... (2); chamando y ao lado AC do triangulo. Para a resolução eleva-se ao quadrado a segunda, posta debaixo da fórma y=b-x, para o fim immediato de eliminar y; e a equação final que dá x é (b— x)2=a2 + x2. Mas a expressão (b) é identica a (b)2; por tanto o problema arithmetico ficou mais geral do que o geometrico, pois contém egualmente o caso em que tivessemos correspondam ou não estas equações ao enunciado de outro problema geome b2a2 trico. A expressão final x= tanto póde por tanto convir ao problema 26 proposto, como a outro, se por ventura existisse, cujo enunciado se traduzisse numericamente pelas equações (1,) e (2,), que só differem das (1), e (2) pela mudança b2a2 a-ba de x em x, e de b em - b. Teriamos assim x= 26 26 Ou seja portanto ba, ou b<a, o calculo dá sempre possivel o problema. Mas sendo ba somma de dous lados do triangulo, a Geometria diz, que ha de sempre ser maior que a, um dos lados d'elle. Logo o problema proposto só é geometricamente possivel quando b>a. Se porém na primeira das equações (2,) mudassemos o signal de b, ella e a equação (1) seriam a traducção numerica do seguinte problema geometrico: «Da da a base AB de um triangulo rectangulo em B, e a differença dos outros la«dos (ou antes a differença entre a hypothenusa e o catheto CB), achar este catheto. >> teria o mesmo valor de x. as - br E o problema arithmetico, .... (1); y +x=-b; ou ainda —y-x=+b) (23) A Geometria diz então, que o problema é possivel, porque sendo b a differença de dois lados do triangulo ha de sempre ser menor, que um dos lados a; e só n'este caso de ba existe correspondencia entre o problema geometrico, e o problema arithmetico fornecido pelas equações (1,) e (2). A primeira equação y2= a2 + x2 convém a estas quantidades, ou estejam affecta das do signal + ou do signal —; a segunda equação y+x=b, offerece as seguintes combinações de signaes: y, + A primeira, a quarta, a sexta, e a setima, estão impressas no problema arithmetico, posto nas equações (1) e (2), e (1,) e (2,); a segunda, a terceira, a quinta, e a oitava, no das equações (1,) e (2,), e (1,) e (2,); visto que no primeiro caso o valor de x resultou da elevação ao quadrado de (b − x), ou (x —b); e no segundo de (b + x), ou (− b - x). Se pois se tractasse de discutir o valor de a independentemente do problema geometrico a que elle corresponde, podia dizer-se que a formula, b2a2 tinha logar para todos os casos, conforme a grandeza relativa das quantidades, que n'ella entram. Mas quando ella exprime as condições do problema geometrico, é preciso attender : 26 1.o a que yx, porque a hypothenusa do triangulo é sempre maior que qualquer dos cathetos. 2.o a que ba, quando b representa a somma dos lados do triangulo. 3.o a que ba, quando representa a differença d'elles. b2a2 E portanto que, no problema de José Anastasio, x= a2 26 26 só é possivel, quando ba: e que, no problema que propozemos, x= ba. E como as duas condições são incompativeis, não póde a mesma formula contel-as a ambas, mas representará unicamente, conforme os dados, aquelle dos dois problemas, que der logar a qualquer d'ellas. D'esta maneira não ha, como não devia haver, contradicção alguma entre o raciocinio, e os resultados do calculo. ERRATA (Continúa). Em o numero antecedente, nota (2), pag. 126, col. 1.a, linh. 53 e seguintes, saiu incompleto o periodo que principia Manuel Pedro de Mello, etc. e termina com as palavras na maior parte do paiz. Substitua-se pelo seguinte: Manuel Pedro de Mello era natural de Tavira, onde nasceu a 6 de Setembro de 1765; e morreu em Ventosa do Bairro, concelho da Mealhada, antigo districto de Coimbra, e hoje de Aveiro, a 13 de Abril de 1833, estando homisiado em casa do ex-capitão-mór de Murtede, Antonio José Affonso, pae do actual lente de prima da faculdade de Mathematica, o sr. Abilio Affonso da Silva Monteiro. Manuel Pedro refugiára-se alli, para evitar a perseguição politica do partido absolutista, então dominante na maior parte do paiz. |