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del teorema della sectio aurea, perciò die il primo è d'avviso, che sebbene l" affermazione non possa appoggiarsi sopra documenti, pure essa è in sommo grado probabile, non supponendo il teorema stesso altre cognizioni da quelle in fuori dei più elementari teoremi sugli angoli e della teoria delle proporzioni, ed avendo Pitagora precisamente di queste dottrine recato una estesa conoscenza dall'Egitto e dalla Babilonia come da diverse fonti risulta. Questo punto e dal Giinlher accuratamente discusso, ed anche facendo astrazione dalla ipotesi, che i pitagorici fossero già famigliarizzati colla costruzione geometrica del pentagono regolare, dimostra come anche senza tale supposizione si possano immaginare le figure stellate: la spiegazione da lui somministrata è ad un tempo semplice e soddisfacente.

Il Gùnther passa in seguito ad analizzare il famoso passo della geometria di Boezio (433-52J), coglie l'occasione per gettare un rapido sguardo sulla questione a lungo ed accanitamente dibattuta fra il Friedlein ed il Cantor sulla autenticità della geometria di Boezio istesso, sostenendo il primo che le due geometrie di Boezio non sieno che un' opera meschina di tempi posteriori, avente in sé l'impronta d' una compilazione, opponendo il secondo validi argomenti onde sostenerne l'autenticità.

Le figure stellate sono poi seguite attraverso il medio evo, essendo messo in evidenza il significato mistico che in quest'epoca attribuivasi comunemente al pentagramma e che perdurò fino a Kepler, nei cui scritti lo rinveniamo misto nel modo più originale a giuste considerazioni matematiche: il Giinlher incontra ancora questa figura nella architettura gotica e nell'arte araldica.

II primo, il quale abbia dato una teoria vera dei poligoni stellati, fu il monaco inglese Adelardo di Bath, che intorno al duodecimo secolo tradusse dall'arabo gli eiementi di Euclide, e prima di varcalo i limiti ilei medio evo
troviamo ancora Campano (sec. XIII) e Tommaso Brad-
cardia (1290-1355) che si occuparono dello stesso argo-
mento: il primo anzi attinse certamente a fonti arabe,
onde, deducendolo anche da altre fonti, come per esem-
pio dalle opere di Mohammed Beha-eddin ben Alhossain
(1547-1G22), si acquista la certezza che gli arabi conosces-
sero taluni fra i poligoni stellati e la probabilità che presso
di loro ne abbia avuto la culla la teoria.

Il primo matematico del rinascimento, presso il quale
il Gunllicr trova menzione dei poligoni stellati, è frate Lu-
ca da San Sepolcro (?-l509?) il quale però si limita a
riprodurre quanto a tale proposito era stato esposto da
Campano (1): di assai maggiore importanza è invece il con-
tributo di Carlo de Bouvelles (1470-1553), dei cui scritti
in argomento l'Autore porge una diligente analisi, ed enumera in seguito altri scrittori che se ne occuparono fino al Ramus o de la Ramée (1515-1572) presso il quale trova per la prima volta il concetto del pentagramma, ma come poligono stellato. Egli dedica poi un intero capitolo alle bizzarrie mistiche di Paracelso, di Alstcd (1588-1638) e di Kircher (1602-1680), e dopo essere entrato in alcuni particolari a proposito del riassunto geometrico preposto da Alberto de Girard ( ? -1633) alle sue tavole trigonometriche, e di quanto lasciò il Brocki, desumendolo da ciò che ne scrissero il Kastner e lo Chasles, passa a Keplero, del quale a lungo si occupa.

(1) Il Guntiier nell" occuparsi a questo riguardo ilei lavori di

frate Luca Pacioli non si riferisce che all'opera seguente: Eucli-

di» opera a Catapano interprete fidissime translata. Luca* Pacio-

hu theologus insignis, altissima mathematicarum disciplinarum

teientia rarissimus judicio castigatissimo detersi!. Venetiis, 1509.

Più innanzi ritorna sul Pacioli (pag. 88) e parla di un'opera ùber

den goldenen Schnitt, ma la. fonte ch'egli cita (kaestner, I Band,

S. 65, ff.) non accenna che all' opera: Summa de Arithmetica Geo-

metria, ecc.: Ci permettiamo quindi di aggiungere un po' più espli-

citamente clie materiali interessantissimi rispetto all'argomento,

del quale ci stiamo occupando, si trovano nell' opera dello slesso .

autore intitolata: Divina proportione et libellus corporum regala-

rium et dependenlium activae perscrutationis Venetiis, 1509. In-

torno a quest'opera importantissima per la storia della scienza cfr.

Bistoire des Sciences Muthé.naliques en Italie, ecc. par Guillaume

Libri. T. IH, deuxtème Édition. Halle, -1865, pag. 143-145. — Cata-

loga* o[ the Mathematical, Historical, Bibliographical and Miscella-.

neous porlion of the cel^brated Library of M. Guglielmo Libri. P. II,

pig. 590. Biblioteca Matematica Italiana dulia origine della

'lampa ai primi anni del secolo XIX, compilata dal prof. cav. Pie-

Tro Riccaudi. P- li voi. Il, Modena, 1873-1870, col. 228-229, ecc.

Comincia infatti il Gùnther dal richiamare l'attenzione del lettore sopra un passo del « Mysterium cosmographicum », del quale fino ad ora non si era tenuto il debito conto, entra poi in molti particolari relativamente ai bei lavori dello stesso autore sulla partizione degli angoli, lavori che gli porsero occasione ad una discussione assai profonda, sotto il doppio punto di vista analitico e geometrico, di tutti i poligoni stellati dei primi quindici ordini. Qui trova pure il suo posto il significato astrologico, che il grande scienziato attribuì a queste forme, ed ancora viene esposto come dopo il Jamnitzer, che aveva disegnato un poliedro stellato un secolo prima del Keplero, questi ne abbia dati due altri considerandoli esplicitamente come poliedri stellati, e ciò contrariamente ad una opinione generalmente ammessa in Francia.

Dopo Keplero la narrazione presenta una lacuna di circa un secolo, dopo la quale ci troviamo di fronte al bel lavoro di Meister (4724-4 788), nel quale viene proposta per la prima una teoria dei poligoni irregolari nel senso più generale della parola, eretta su base cinematica, ed a questa innovazione si legano certe osservazioni fatte da matematici posteriori, come L'Huilier (1750-1840), Gauss e Mdiuu- (1790-1868), nel quale ultimo però dev'essere espressamente avvertito, che il concetto da lui formatosi di ciò die deve intendersi per poligono, e per area di questo apparisce interamente originale, od almeno non vi si scorge alcuna azione diretta delle idee di Meister.

Allo scopo di permettere, anzi di facilitare, un esatto apprezzamento sulla importanza che nello studio di tale teoria assumono i lavori di Poinsot ( 1777-1859), il Gunther porge a questo punto un succoso ed interessantissimo riassunto dello sviluppo della stereometria da Maurolieo (1494-1575) ad Eulero. Quanto ai lavori di Poinsot in particolare è assai giusta ed opportuna 1' osservazione del Gùnther, che cioè un lavoro così sistematico non era possibile che nel secolo decimonono, poiché esso suppone taluni progressi della teoria dei numeri che non datano che dalla fine del secolo decimottavo: la questione poi relativa alla possibilità di altre forme di poliedri regolari stellati, oltre alle quattro da lui scoperte, venne dal Poinsot lasciata impregiudicata e non fu decisa in senso negativo che dal Cauchy (4789-1857)

In tale successivo sviluppo storico vengono ad occupare una posizione isolata il Krause (1781-4 832) che svolse una breve teoria foronomica dei poligoni stellati come parte della sua principale opera geometrica, Io Schròder, che, appoggiato sulla legge che più tardi ricevette il nome di « legge di permanenza », cercò di formulare in modo essenzialmente nuovo la dottrina dei poligoni stellati, e il .Infoili (1804-1851), che porse quel suo elegantissimo precetto per determinare il volume di tali forme, precetto più tardi perfezionato dall'Hermes. Il Gunther fornisce ancora un esatto ragguaglio dei lavori pubblicati intorno alle forme poligonali e poliedriche stellate dagli autori contemporanei, ed in particolare dello scritto del Wiener, che seppe assai diligentemente riassumere oompendiosamente tutti i lavori precedenti e tórre di mezzo quella irragionevole linea di perfetta demarcazione segnala per lo innanzi fra il piano e lo spazio. Per l'ultimo l'Autore mette fine a questo interessantissimo capitolo, ragionando delle ricerche di Heinen, Druckenmiìller, Unferdinger, Steinhauser, Muir, Pagni (t), Hesscl ed Hess, e chiude con alcune note, nelle quali sono esposte ulteriori notizie storiche sia intorno agli autori dei cui lavori tenne parola, sia ancora relativamente alle applicazioni che queste forme ricevettero fuori del campo geometrico propriamente dello.

Rapporto alla storia della Geometria è interessantissimo un altro lavoro del nostro Gunther (2), lavoro il quale induce in gravi considerazioni, perciocché per esso si discoprono le origini e si traccia lo sviluppo storico della dottrina concernente 1' applicazione dell' algebra alla teoria delle curve, la quale colla autorità di Chasles (3) era stata proclamata come forse la sola, di cui non si tro

(1) Da quanto il Gùnther scrive intorno a quest'opera e da quanto ho rilevato da una di lui comunicazione, egli se ne occupò in base al riassunto datone da Caselli nel periodico < Les Monde* iJL.' Sèrie, 10. Anne. Tome XXIX, N." 7. — 17 Octobre 187-2, . pag. 259-200, ritenen lo d'altronde che si tratti di scritto inedito. Ciò pertanto non é, poiché il lavoro in questione venne pubblicato per le stampe sotto il titolo seguente: « Nuove considerazioni sui poligoni e sui poliedri di specie superiore, per Michelangelo PaOni. Firenze, tipografìa dei successori Le Monnier, 1872. •

(2) Die Anfànge und Entwickelungsstadien des Coordinatenprincipes, von prof. doct. Siegmund Gunther. Questa memoria non porta né data, né indicazione del luogo dove venne stampala: fu però pubblicata nel 1877 ed è estratta dalle Abhandlungen der naturforschenden Geselhchuft ztt Niirnbcrg.

(3) Apercu historique sur V origine et le dévéloppement des thodes en geometrie, ecc. par M. Chasi.es. Seconde édition. Paris, ecc. 1875, pay. 9i.

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