le plan passant en C et perpendiculaire à AB; ce plan contient les droites CD et CE (théor. XIX); donc il se confond avec le plan P, et la droite AB, perpendiculaire, par construction, au plan P', est aussi perpendiculaire au plan P.

Théorème XXI. (Théorème des trois perpendiculaires, 1er énoncé.) Etant donné un plan P, une droite BC tracée dans ce plan et un point A extérieur au plan; si du point donné on abaisse sur le plan une perpendiculaire AD, que du pied D de cette perpendiculaire on abaisse sur la droite une perpendiculaire DE, et qu'on joigne le pied de cette perpendiculaire au point A, la droite ainsi obtenue est perpendiculaire à la droite donnée. En effet BC,perpendiculaire en même temps à DE et à AD est perpendiculaire au plan ADE; donc BC est perpendiculaire à la droite AE tracée dans ce plan.

Théorème XXII. (Théorème des trois perpendiculaires, 2e énoncé.) Si d'un point A extérieur à un plan P on abaisse une perpendiculaire AD sur le plan, et une autre perpendiculaire sur une droite BC tracée dans le plan, la droite DE qui joint les pieds des deux perpendiculaires est elle-même perpendiculaire à la droite donnée. - En effet BC, perpendiculaire aux deux droites AD, AE, tracées dans le plan ADE est également perpendiculaire à la droite DE tracée dans ce plan.

Théorème XXIII. (Théorème des trois perpendiculaires, 3e énoncé.) Si d'un point A, extérieur à un plan P,

on abaisse une perpendiculaire AE sur une droite BC tracée dans ce plan; que par le pied E de cette perpendiculaire, et dans le plan P, on élève sur la droite donnée une perpendiculaire ED, et qu'enfin du point donné on abaisse une perpendiculaire AD sur la dernière droite ED, la droite ainsi obtenue sera perpendiculaire au plan. En effet BC, perpendiculaire aux droites ED, AE, l'est aussi à la droite AD tracée dans leur plan; donc AD est perpendiculaire à la fois à BC et à DE; donc AD est perpendiculaire au plan P de ces deux droites.

Théorème XXIV. - Deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles, sans quoi, d'un point quelconque de leur intersection, on pourrait mener deux plans perpendiculaires à la droite.

COROLLAIRE.

Par un point donné hors d'un plan on peut toujours mener un plan parallèle à ce plan.

Théorème XXV.-Tout plan P qui contient deux droites concourantes AB, AC, parallèles à un plan P' est lui

même parallèle à ce plan. Par un point A' menons dans le plan P' les deux droites A'B', A'C', respectivement parallèles à AB, AC (théor. XIII, corollaire 1); les plans Pet P' contiendront

respectivement les côtés des angles BAC, B'A'C' dont les côtés sont parallèles deux à deux; donc ces deux plans sont parallèles.

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SCOLIE. On peut directement démontrer ce théorême de la manière suivante: Si les deux plans P et P' se rencontraient en un point A', les droites A'B' et A'C', respectivement parallèles à AB et à AC seraient à la fois dans les deux plans (théor. XIII, corol. II), ét par suite les deux plans se confondraient.

Théorème XXVI. Les intersections de deux plans parallèles par un troisième plan sont parallèles, sans quoi les deux premiers plans se rencontreraient. Autrement: Deux droites situées dans deux plans parallèles sont parallèles loutes les fois qu'elles sont situées dans un même plan.

Thorème XXVII. Les droites menées parallèlement à un plan P par un point extérieur B sont toutes dans un même plan P' parallèle au plan donné et passant par le point donné. - BD étant l'une des droites dont il

s'agit, conduisons par cette droite et par un point quelconque A du plan P un plan qui coupera le plan P suivant une droite AC. La droite AC est parallèle à BD (théorème XXVI), et par suite au plan P' (théor. XI); or BD a un de ses points dans le plan P'; elle est donc tout entière dans ce plan.

COROLLAIRE I. Par un point B extérieur à un plan P on ne peut mener à ce plan qu'un seul plan parallèle;

car chaque plan passant en B et parallèle au plan P contient toutes les droites du plan P' qui passent en B, et par suite se confond avec le plan P'.

COROLLAIRE II. - Deux plans parallèlès à un même troisième sont parallèles ou se confondent; sans quoi, par un point quelconque pris sur leur intersection, on pourrait mener deux plans parallèles au troisième plan.

Théorème XXVIII. -Les portions de parallèles interceptées entre deux plans parallèles sont égales. Soient AB et CD les portions de deux parallèles interceptées par les plans parallèles P et P'; le plan ABCD des deux parallèles coupera les deux plans suivant les droites parallèles AC et BD; le quadrilatère ABCD est donc un parallélogramme, et par suite AB = CD.

Théorème XXIX. - Etant donnés deux plans parallèles, toute droite AB, parallèle à l'un de ces plans est parallèle à l'autre ou située dans ce dernier plan. Supposons

que la droite AB parallèle au plan P, rencontre le plan P' en C; par la droite AB et un point quelconque D du plan P je conduis un plan qui coupera les plans donnés C suivant deux droites parallèles DE et CF (théor. XXVI); or AB est aussi parallèle à DE (th. XIII);

donc les droites AB, FC, qui ont le point C commun se confondraient; ce qui est contre l'hypothèse admise.

SCOLIE.

Cette proposition subsiste si on regarde

les droites situées dans un plan comme étant parallè

les à ce plan.

COROLLAIRE.

Une droite qui coupe l'un de deux plans parallèles coupe également l'autre.

Théorème XXX. Etant donnés deux plans parallèles, toute droite AB perpendiculaire à l'un de ces plans P, est aussi perpendiculaire à l'autre P'.- En effet chaque droite du second plan est parallèle à une droite du premier, et par suite perpendiculaire à la droite AB.

Théorème XXXI. Deux droites quelconques sont coupées par trois plans parallèles en parties proportionnelles. Soient les plans parallèles P, P' P", les droites AC, A'C' qui rencontrent respectivement les trois plans en A, B, C et A', B', C', et la droite AC" parallèle à A'C' et qui rencontre en B" et C" les plans P' et P"; on aura d'abord

AB" A'B'

=