entem: multiplicem fuperparticularem, & multiplicem superpartientem pariter habitudo minoris inæqualitatis, fingulis vocabulis præpofita præpofitione sub; ut fub-multiplicem, fub-superparticularem, &c. 1. Multiplex est quando major minorem aliquoties continet, ut bis ter, &c. fine fractione, fic 12 eft in ratione duodecupla ad 1, sextupla ad 2, quadrupla ad 3, tripla ad 4, dupla ad 6; & minor est pars aliquota majoris, nempe 6 eft in 12 bis, fine fractione. di 2. Superparticularis est quando major minorem semel duntaxat continet & infuper unam ejus partem aliquotam. fo. dimidiatam, tertiam, quartam, &c. fi pars aliquota sit dimidiata, ut 3 ad 2,, hoc eft, citur sesquialtera; est autem 4 ad 3, hoc est, 1 sesquitertia; 5 ad 4, five I sesquiquarta, &c. ett etiam 1001 ad 1000 188, five Irood sesquimillesima: atque hic in fractione Numerator semper est unitas. 3. Superpartiens est quando major minorem semel duntaxat continet & insuper aliquot ejus partes aliquotas, ita tamen ut illæ non efficiant unam aliquotam; fic 8 continet 5 femel & insuper tres unitates, quarum quælibet est pars aliquota utpote quinta hujus numeri 5; ipse autem ternarius, ex illis compofitus, non eft pars una aliquota numeri 5, id eft, non vult dividere 5 fine fractione: vel breviter, quando major minorem femel duntaxat continet cum fractione, cujus Numerator non erit unitas, ita 7 ad 5, sive, hoc est, 1, est adhuc fubdiftinguendo super-bipartiens quintas, est supertripartiens quintas, est superquadrupartiens quintas, &c., hoc eft, fi est superdecupartiens I undecimas; fic five 11 est superdecupartiens decimas quintas. 4. Multi 1 el . 4. Multiplex super-particularis eft quando major minorem aliquoties continet, ut bis ter, &c. & præterea unam ejus partem aliquotam; fic 9 ad 4, 4, hoc est, 24, unde quafi componitur ex multiplici & particulari. 5. Multiplex superpartiens est quando major minorem aliquoties continet & aliquot ejus partes aliquotas non efficientes unam aliquotam, vel unitas nequit effe in fractione; fic 11 ad 3, 4, five 3; ita 11 ad 3 eft ratione tripla superbipartiente tertias, & in exemplo Authoris, five 43; 31 est ad 7 in ratione quadrupla supertripartiente septimas; unde hæc ratio quafi componitur ex multiplici & fuperpartiente. 3. Si quatuor numeri fint proportionales, factus ab extremis æquatur facto à mediis, ut 7.9 :: 28.36. = eft nota æqualitatis: 9x28-7836; hoc theorema : merito catholicum appelletur, cujus ufus ubique eft infignis: demonstratur autem 19. 7. elem. nam fi fie 7.9:: 28.36. quoniam 28 & 36 fiunt ex 7 & 9 multiplicatis per 4 erg. per expofitionem, ut 7.9 :: 74. 9x4. ergo factus ex mediis 9x7x4 neceffario aquabi 1 cur facto ab extremis, nempe 7x9x4. 1. il Pulchre in speciebus fi fit B.C:: BA. CA, ex mediis C in BA fit CBA, ab extremis B in CA fit BCA; fed erit neceffario CBA-BCA. 4. Hinc fi 4 habuerint 8, quæritur quot habuerint ic? per 4, hoc eft, : Continua Proportio fignificatur per hanc notam; fic 1, 2. 4. 8. 16. &c. funt continue proportionales., nempe ut I ad 2 ita 2 ad 4, & ut 2 ad 4 ita 4 ad 8, &c. 8. In speciebus a. B. Ва вс nempe a aq &c. funt, id eft, BB five Bq continue proportionales; nam ut a.B :: 8. fed quia adhuc non didicisti multiplicare fractiones, reliqua differenda ad Cap. 10. 10. In hac ferie fi ultimus terminus fit a, & fumma omnium terminorum progreffionis defignetur per Z, erit Z- fumma omnium antecedentium, & Z-a summa omnium consequentium: & esto per 12. 5. elem. α. β:: Ζω. Ζ-a. ergo per theorema catholicum az-aq-β-βω. ab utraque parte æquationis tolle az erit -aq-Bz-Ba-az. utrique parti adde Ba... erit Ba-aq-z-az, divide utramque per s-a erit Bw-aq βα z. atque ita vides quomodo ex tribus datis, nempe a. β. 4. eruitur summa omnium terminorum in progressione geometrica. Hæc planius intelli gas Cap. II. Hæc de geometrica proportione utilissima sunt ad in- Et Logar. 1/06 est 0,02530. certo L 1 certo annorum numero, progreffio eft per fingulos annos geometrica: ideoque Bw. procreabitur ex 1li. előcata pro certo annorum numero, (nempeut. 2:24. &c. A fic 1. 106::1/06 ad aliud, &c. Th. 1. Juxta hanc methodum & 1. Theor. compu- 376 A 9. Sectio nona Authoris demonftratur ab Encl. 5. & 7. Elemen. I 10. Si binarum rationum, fcil. 7 confequentes fint -æquales, nempe II, funt ut antecedentes, viz 7 ad 9: fi vero antecedentes fint æquales (ut in antecedentes, fcil. 1 & 1 funt æquales) funt reciproce ut confequentes, hoc eft, non ut 9 ad 7, fed ut 7 ad 9. nempe ut :: 7.9. 15. Quoniam habitudo numerorum ad fe invicem invenitur dividendo antecedentem per consequentem, ut adplicando 8 ad 4, oritur, hoc est, 2; quotus hic appellari folet denominator rationis, vel rationis quantitas; etiam & ratio ipsa vocari poffit; fic Bad Cra B tio five denominator est ita BA ad A ratio eft BA A C five B: etiam BA ad CA ratio eft BA B five uti CA satis patet ex legibus Divifionis fupra expofitis. Ideoque Ideoque vice-versa si duxeris quotum five rationem in consequentem, id eft, divisorem, restituetur antecedens, quoniam quod divifio diffolvit multiplicatio conficit; ita ex 2 in 4 fit 8,ex in C fit B,ex BA (five B) BA B B A in A fit BA, ex CA (five) in CA fit BA, ut planius infra intelliges. Oftendit Oughtredus in Sect. 15. rationem antecedentis ad confequentem componi vel ex ratione antecedentis ad tertium & tertii ad consequentem, vel ex ratione tertii ad consequentem & antecedentis ad terti 7.A :: item 7.9::x X A.9 Ratio ex rationibus componi dicitur quando rationum quantitates inter se multiplicatæ aliquam effecerint rationem per quintam defin. sexti Elem. id eft, cum rationes inter se multiplicatæ vel earum denominatores inter se multiplicati effecerint rationem; fic 4 est ad 2 in ratione dupla, denominator est 2; & 9 estad 3 ratione tripla, cujus denominator est 3; ratio autem ex his rationibus compofita, ex dupla in triplam fit sextupla; fcil. ex 2 in 3 denominatoribus in se invicem ductis fit 6, denominator rationis sextuplæ; vel quoniam denominatores 2 & 3 ita exprimi poffint,ex in fit 38, denominator rationis sextepla. Hinc fi ratio in eandem rationem (id eft, in se) ducatur, facta erit illa ratio duplicata; fic rationis 8 ad 4, denominator est 2; ex 2 in 2 fit 4, denominator rationis quadruplæ; triplicetur hæc ratio multiplicando factum 4 iterum per 2 fiet 8, denominator rationis octuplæ; & ex 2 in 8 fit 16, quadruplicando, &c. ideo que 1 |