Une sphère pleine homogène peut également être décomposée en couches concentriques, et par conséquent son action sur un point extérieur est la même que si toute sa masse était concentrée en son centre. Nous nous sommes déjà servis de cette propriété à la page 182. Sur la masse m située à une distance x du centre de la sphère agit une force.

Si la masse m se trouve sur la surface même de la sphère, la force est

Déterminons maintenant la force F, avec laquelle une sphère pleine agit sur une masse m située à son intérieur, à une distance <R du centre. Décrivons une sphère concentrique à la sphère donnée et de rayon x; elle passe par m et partage la sphère donnée en deux parties: une couche sphérique à l'intérieur de laquelle se trouve le point m et sur lequel elle n'agit pas par conséquent, et une sphère de rayon à la surface de laquelle se trouve le point m. Cette sphère attire m vers son centre, avec une force que l'on obtient en remplaçant R par x dans (28). Six est compté positivement du centre vers m, nous mettrons le signe devant l'expression de la force F; pour indiquer qu'elle agit vers le centre, c'est-à-dire dans la direction négative;

On voit donc que l'attraction vers son centre d'une sphère pleine sur un point intérieur est proportionnelle à la distance de ce dernier au centre.

La formule (29) est analogue à la formule (20) de la page 124, dans laquelle figure la grandeur s au lieu de r. Si donc la masse m pouvait se déplacer librement dans un canal très étroit passant par le centre d'une sphère homogène, et si elle n'était soumise qu'à l'attraction de cette sphère, elle exécuterait un mouvement vibratoire harmonique. En comparant (29) et (20),

la densité de la plus grande sphère. Nous pouvons remplacer la sphère renfermant une cavité par un système de deux sphères l'une pleine de centre A et de densité, l'autre également pleine de centre B et de den

CHWOLSON. Traité de Physique I.

13

sité (voir la figure 98 et le texte, page 187). La première sphère attire la masse m avec une force f = ME, dirigée vers A, et proportionnelle d'après (29) à la distance MA. On peut donc poser f1 = k.MA, k dépendant fi seulement de la densité è, mais non du rayon de la sphère, voir (29); la seconde sphère repousse la masse m avec une force f1⁄2 MD, dirigée de B vers M et égale à fa k.MB. Si nous construisons la résultante f, nous voyons

que

=

les triangles CDM et AMB sont semblables, car CDM

= AMB, et l'on a

que DMC = MBA, et par suite MC = f et est parallèle à BA. Ceci s'applique à tous les points de la cavité. Nous avons en outre

La formule (30) montre que la grandeur de la force ƒ ne dépend pas de la position du point M à l'intérieur de la cavité.

Une cavité sphérique à l'intérieur d'une sphère homogène représente un champ de force uniforme (page 89), c'est-à-dire que quelle que soit la position occupée par une masse m dans cette cavité, une même force, parallèle à la droite qui joint les centres de la sphère et de la cavité, et proportionnelle à la distance a de ces centres, agit sur cette masse.

L'intensité (page 89), de ce champ de force uniforme ne dépend pas du tout des rayons de la sphère et de la cavité. Quand les centres coïncident (a = o) l'intensité du champ devient nulle, et nous sommes dans le cas d'une couche sphérique homogène pour laquelle, comme nous l'avons vu, on a F; = 0,

B

+8

E F

Considérons deux sphères ABCFA (fig. 103) de densité et AECDA de densité 6; leur ensemble se compose de la masse positive ABCEA, de la masse négative AFCDA et de la cavité en forme D de lentille AECFA. Nous trouverons, comme précédemment, que cette cavité représente un champ de force uniforme, dont l'intensité est proportionnelle à la densité et à la distance des centres des sphères.

Fig. 103

Un cas particulièrement important, comme nous le verrons, est celui où les rayons des deux sphères sont égaux et où leurs centres c, et c, (fig. 104) sont très voisins l'un de l'autre. Dans ce cas le champ de force uniforme est presque sphérique; il est limité par deux couches identiques couvertes de ha

chures sur la figure, l'une de masse positive, l'autre de masse négative. Si nous posons C12 =a, nous voyons facilement que l'épaisseur c de la couche en un point quelconque M est sensiblement

égale à

(32)

c = a cos ?,

où désigne l'angle formé par la droite AB
qui joint les centres c, et c2, et par le
rayon A
mené de c, ou de c, vers M (quand la dis-
=a est très petite, ceci revient au
même). Plus cette distance est petite, plus
l'exactitude de la formule (32) est grande.

tance c,Ca

Fig. 104

Si nous mesurons les forces en unités astronomiques, c'est-à-dire si nous partons de la formule (12) de la page 185, l'intensité du champ=f: m devient égale à

7. Cas particulier de l'attraction d'une couche ellipsoïdale sur un point. Considérons une couche homogène infiniment mince, de densité 6, limitée par les surfaces de deux ellipsoïdes semblables et semblablement placés (fig. 105); les axes de l'un, a, b, c, sont donc respectivement proportionnels aux axes de l'autre, a, b, c, et l'on a

de

On démontre en géométrie ana

lytique que si l'on mène une

droite par un point M quelconque, les portions de cette droite, comprises entre les surfaces des ellipsoïdes, sont égales; on a donc fd=pq=a. Supposons qu'en M se trouve une masse m; traçons dans les deux sens, un angle solide infiniment petit w, ayant M pour sommet. Il découpe, dans la couche, deux masses que nous désignerons par m, et m,, qui attirent la masse m avec des forces f, et fa égales à

Si, de M comme centre, nous décrivons des surfaces sphériques passant par les points f et d, l'angle solide découpe, dans la couche sphérique limitée par ces surfaces, l'élément fdih, dont le volume ne diffère du volume de l'élément fdeg que d'une quantité infiniment petite. On peut donc écrire m1 oru x fd drwx; nous obtenons de la même manière m dr2wa. En portant ces valeurs de m, et de m, dans (35), nous obtenons f1 = ƒ2• Il en résulte, comme précédemment pour la couche sphérique, qu'une

=

couche homogène, limitée par les surfaces de deux ellipsoides semblables et semblablement placés, n'exerce aucune action sur un point situé à son intérieur.

Considérons un

σ

8. Attraction d'un plan indéfini sur un point. disque mince, infiniment étendu; soient e son épaisseur, è sa densité, l'aire d'une partie de ce disque; la masse m, de cette partie est m, cos. Supposons maintenant que l'épaisseur e diminue, mais que la densité è augmente, le produit còk restant constant. Nous obtenons à la limite le plan AB (fig. 106), recouvert d'une couche de matière dont nous pouvons négliger l'épaisseur. Sur la partie du plan se trouve une quantité de matière Bm1 = ks; nous dirons

A

k

N
F

h

M

m

Fig. 106

σ

α

8

=

dans ce cas que la matière possède une densité superficielle k et nous appellerons les masses elles-mêmes des masses superfi

cielles. La densité ordinaire (de volume) de ces masses est infiniment grande. Calculons maintenant la force F, avec laquelle ce plan attire une masse m placée en M. Si l'on a MNLAB, il est clair que la force F est dirigée de M vers N. Soit un petit élément du plan AB, renfermant la masse m ̧ ks; soient en outre r la distance Ma, o l'angle solide sous lequel on voit du point M l'élément du plan, et NMσ a. Décrivons de M comme centre une surface sphérique de rayon r, et soit s la portion de cette surface découpée par l'angle La force ƒ avec laquelle la masse m ̧

solide w; on a alors s = σ cos a.
attire la masse m est égale à ƒ
de toutes les forces f est égale à

F = cos =

mko cos a

לין

Or Y est égal à l'angle solide sous lequel on voit du point M le plan

indéfini AB; cet angle est évidemment égal à 2, de sorte (36)

F = 2 km.

que

La force avec laquelle un plan indéfini AB attire un point dépend pas du tout de la distance MN h du point M au plan. deux côtés du plan, un champ de force uniforme, dont l'intensité

=

l'on a

M extérieur, ne
Nous avons des

est égale à

CHAPITRE VII

ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE DU POTENTIEL

1. Fonctions de point. Il est nécessaire de dire quelques mots des fonctions de point, avant d'aborder la théorie du potentiel. Toute grandeur qui se rapporte à un point déterminé s'appelle une fonction de point. Ainsi, par exemple, la température est une fonction de point, car sa valeur varie en général d'un point à un autre, et l'on peut parler de la valeur de la température en un point donné M. Soient A un point donné et r la distance à ce point A d'un autre point M. Les grandeurs r, r2,

I I

etc., sont des fonc

tions du point M, car leur valeur dépend de la position du point M.

On peut considérer toute fonction V d'un point M comme une fonction des coordonnées x, y, z, de ce point, c'est-à-dire que l'on peut écrire V =ƒ(x, y, z). Ainsi, par exemple, V =

V

I

r

est une fonction de point de la forme

I

√ (x − a)2 + (y — b)2 + (~ c) 2

a, b, c, étant les coordonnées du point A.

Le lieu géométrique des points, pour lesquels V a une même valeur C, représente une certaine surface, dont l'équation est

V = f (x, y, z) = C.

Une telle surface s'appelle une surface de niveau de la fonction de point donnée (ou encore une iso-surface): de là vient le nom d'isothermique donné à une surface, dont tous les points possèdent la même température. Si l'on fait varier le nombre C, on obtient une infinité de surfaces de niveau; en chaque point de l'espace passe une et une seule surface de niveau, quand la fonction V est uniforme.

Par chaque point de l'espace on peut tracer une courbe, qui traverse normalement les surfaces de niveau qu'elle rencontre, c'est-à-dire une courbe telle que la tangente en un quelconque de ses points A soit normale au plan tangent à la surface de niveau qui passe par ce point. Ces courbes s'appellent trajectoires orthogonales du système de surfaces de niveau.

-

2. Potentiel d'une masse attirante (d'un point matériel). Nous partirons dans ce chapitre de l'expression

où f désigne la force avec laquelle s'attirent deux masses m et m1 situées à la distance r l'une de l'autre. Nous prendrons donc ici pour unité de force,