et de leurs distances moyennes au soleil, dont les expres sions sont renfermées dans ses équations différentielles, devient la base fondamentale de ses calculs. Il regarde aussi les excentricités, les inclinaisons, les lieux des périhélies et des nœuds pour une époque donnée, comme des élémens nécessaires, mais seulement après l'intégration, pour déterminer les constantes arbitraires. Il emprunte des tables de Halley les principaux élémens dont il est ici question, et discute avec beaucoup d'étendue les rapports des masses, ou forces attractives des planètes à celle du soleil. Il distingue les masses des planètes accompagnées de satellites, et les masses de celles qui n'en ont point. Il détermine les premières d'après la relation des forces attractives considérées comme étant en raison directe des distances moyennes, et inverse des carrés des temps périodiques, relation (1) démontrée par Newton pour les corps qui décrivent des ellipses invariables, et par M. Lagrange, en ayant égard aux variations séculaires des orbites. Il conclut les secondes, à l'exemple d'Euler, de leurs volumes combinés avec leurs densités, en supposant d'après la loi que suivent à peu près la terre,

(1) D'après la relation démontrée par Newton et par M. Lagrange, en désignant par S la masse du soleil, par P celle d'une planète, par r sa distance moyenne au soleil, et par t son temps périodique; en désignant de plus par pla distance d'un satellite à la planète, et par 0 son temps périodique, on aura.......

P
S

donc ou simplement P=

P=

la masse du soleil étant prise pour unité;

formule très-simple pour déterminer les masses des planètes accompagnées de satellites.

Mémoires de l'Académie de Berlin, 1782, pag. 179.

Jupiter et Saturne, les densités réciproquement proportionnelles aux distances. Il ne dissimule point l'incertitude que laisse une base aussi précaire sur les masses des planètes sans satellites. Il détermine cependant, en conséquence des masses qu'il a trouvées pour les six planètes principales, les valeurs numériques de tous les coëfficiens des diverses équations différentielles, qui doivent servir à calculer les variations séculaires des excentricités, des inclinaisons, des noeuds et des périhélies, et laisse aux astronomes le soin de chercher, par une application semblable à celle dont il donne l'exemple, de nouveaux coëfficiens numériques, lorsque le temps aura produit quelques changemens dans les valeurs des masses des planètes. Dans ces diverses déterminations, il ne tient aucun compte de l'action d'Uranus dont les élémens n'étoient pas encore assez bien constatés à l'époque de ses recherches sur les variations séculaires des orbites des planètes.

M. Lagrange ne se borne pas à ces travaux préparatoires la construction des tables; il examine encore pour les équations qu'il a présentées sous leur forme différentielle, et pense que, dans cet état, elles peuvent servir à déterminer les petites variations annuelles des élémens des six planètes principales, que l'on peut regarder, pendant un très-grand nombre d'années, comme proportionnelles au temps. D'après cette hypothèse, il détermine leurs valeurs pour le commencement du 18e siècle, valeurs qui, multipliées par 100, peuvent donner les variations séculaires. En les comparant aux observations faites depuis le renouvellement de l'Astronomie, il entrevoit le moyen de fixer en quelque sorte l'incer titude qui reste encore sur les masses des planètes, et qui

ne peut l'être, en effet, que par la connoissance exacte des variations séculaires que le temps doit développer dans les mouvemens célestes.

Il compare ensuite les valeurs des variations annuelles déduites de la théorie, avec celles que donnent les observations. Cette comparaison lui présente, dans leurs résultats, des différences assez considérables sur les mouvemens des périhélies de Mercure, de Vénus, de Jupiter et de Saturne. Il trouve un plus grand accord entre la théorie et les observations sur les mouvemens du périhélie de Mars, du périgée du soleil, et la diminution de l'obliquité de l'écliptique. Les résultats de la théorie sont toujours hors d'atteinte toutes les fois que les données qui leur servent de base sont exactes; mais à l'époque de 1781, les masses des planètes étoient bien moins connues qu'aujourd'hui, la cause et la loi des grandes inégalités de Jupiter et de Saturne, découvertes peu de temps après par M. Laplace, étoient encore ignorées, et ces inégalités ne sont pas sans influence sur les mouvemens des périhélies des deux planètes.

La détermination des variations annuelles des élémens des planètes paroissoit devoir suffire aux besoins de l'Astronomie dans son état actuel; mais le géomètre ne renferme pas ses calculs dans les bornes de quelques siècles. En considérant la marche des phénomènes, il cherche à les connoître pour un temps quelconque; il cherche à déterminer les périodes et les lois de leurs variations; et comme il se propose souvent de devancer les observations ou de leur suppléer, il a besoin d'embrasser l'avenir tout entier dans ses théories. C'est par des considérations aussi élevées, qu'il découvre dans le système du Monde ses lois les plus générales, et surprend

quelquefois les secrets de la nature. C'est dans cet esprit que M. Lagrange se propose de trouver les expressions générales et complètes des variations séculaires des élémens des six planètes principales pour un temps indéfini; recherche qui lui demande l'intégration des équations différentielles linéaires qui renferment la loi de ces variations, forme sous laquelle il a le premier présenté les équations relatives aux nœuds et aux inclinaisons, et que M. Laplace a donnée ensuite à celles qui se rapportent aux excentricités et aux périhélies.

Après quelques considérations générales sur la forme des intégrales, il calcule séparément l'effet de l'action mutuelle de Jupiter et de Saturne, comme s'ils formoient un système à part, indépendant de celui des autres planètes, et trouve que les variations des excentricités et des inclinaisons de leurs orbites, ne consistent que dans de petites oscillations autour de leurs valeurs moyennes, et qu'abstraction faite de toute cause étrangère, ce sys tème est de lui-même dans un état stable et permanent; ce que M. Laplace avoit déjà démontré en général dans le cas où l'on ne considère que deux planètes.

Il examine aussi séparément les variations séculaires de Mars, de la Terre, de Vénus et de Mercure, qui par l'intervalle qui les sépare de Jupiter et de Saturne, paroissent aussi former un système indépendant dans le système planétaire; mais ce système plus composé, demande un plus long travail et renferme des difficul tés particulières dans les équations qu'il faut résoudre, et qui se compliquent en raison du nombre des planètes que l'on considère. M. Lagrange aplanit toutes ces difficultés avec la supériorité qui caractérise le grand géomètre, et trouve qu'en vertu de leur action mutuelle,

les excentricités et les inclinaisons des quatre planètes de ce dernier système doivent demeurer éternellement renfermées dans d'étroites limites; que l'obliquité de l'écliptique ne peut différer de l'obliquité actuelle que d'une quantité moindre que 5°23′ (1); que les variations de la longueur de l'année tropique ne peuvent excéder 3'40"; ce qui détruit les systèmes également faux des hommes qui prétendent que l'écliptique doit dans la suite des siècles coïncider avec l'équateur, et donner à la terre un printemps perpétuel, et de ceux qui pensent qu'elle s'approche sans cesse et par des degrés insensibles, du foyer de notre système, et doit un jour s'y précipiter.

Ainsi la permanence du système planétaire repose à la fois sur deux grandes bases, l'invariabilité des distances moyennes et des moyens mouvemens et les limites données par la nature aux excentricités et aux inclinaisons des orbites. Ce sont là ces résultats intéressans qu'il n'est permis qu'au géomètre de découvrir; lui seul peut pénétrer ainsi dans la constitution intime de l'Univers, par l'étonnante faculté qui lui est donnée de comprendre dans ses formulės l'immensité des siècles.

L'invariabilité des grands axes et des moyens mouvemens est une de ces vérités que le temps paroît affermir et généraliser de plus en plus. M. Laplace l'avoit d'abord reconnue, en remarquant que tous les termes qui peuvent produire une inégalité séculaire, se détruisent dans l'expression du moyen mouvement. Si l'on

(1) On verra ci-après que M. Laplace réduit l'étendue entière des variations de l'obliquité de l'écliptique à 3o décimaux ou 2° 42′ de la division sexagénale.

néglige