Que de centro gravitatis fuperius innuimus tanquam im Epiftola Proxime precedente omissa, vel immutata, placuit hic fubjungere; utres ea tota Lederi plenius exhibeatur. CH Um exigit à me Fermatius, ut in Hyperbolis · fuis Infinitis, quotquot habent,centrum gravitati: exhibeam;easq;quæ habent, ab iis quæ non habent differminem; faltem ut generalem propofitionem, utut citra demonftrationem,' transmittam: Faciam quod petit Vir Nobiliffimus; &c.Et quidem, ultra quam poftulat, Demonftrationem adjungam, ut videat quam directâ methodo, ex ea quam trado indagandi arte, emergat. Propofitio hæc eft: I ad axem AD, cujus vertex A, adjaceat (utrinque) figura five plana five folida, cujus ordinatim infcriptæ, five rectæ, five fuperficies planæ fimiles, fint juxta feriem five æqualium, five primanorum, fecundanorum, tertianorum&c. five fubfecundanorum, fubtertianorum &c. five aliam quamlibet ex his utcunque compofitam, five denique harum cuilibet reciprocam, (in ter quas ipfius funt quas innuit hyperbole infinite,) conftitutæ: fi Axis AÐ ita in pun&o C dividatur, ut fit, ficut ad seriei iftius indicem unitate au&um, ita CD ad CA: Erit C Centrum gravi. tatis iftius figuræ, Quæque ita conftitutæ funt ut Axis AD ita dividi poffit, centrum gravitatis habent; quæ fecus, non habent. Sic autem conftitutæ funt, fi ferici index major fit quam -1: fin fecus, non funt. Sequitur Demonftratio. namus utique primò Verticis pun&tum A,in centro libræ; fitque Axis AD juxta libræ longitudinem applicatus. Sitque ferici juxta quam procedunt ordinatim applicata (five recta live plane) Index p; quæ propterea ad A correfpondentem feriem æqualium erit,ut 1,adp+ 1. Ipfarum autem diftantias à vertice, adeoque à Centro libræ,diametris interceptis proportionales effe (feu potius eafdem} per fe patet, adeoque feriem effe primano rum cujus index 1. Cum itaque momentorum ad invicem ratio componatur ex rationibus tum magnitudinum,tum à centro lie bræ bræ diftantiarum; Momentorum feries (quippe ex duabus illis compofita) indicem habebit p + 1, (ex componentium ferierum indicibus aggregatum.) Erit itaque momentorum omnium ag. gregatum (hoc eft, pondus totius figuræ fic appenfæ) ad toti dem ultimo æqualia (hoc eft, ad figuram correfpondentem ex æqualibus conflatam, ex puncto D appenfam) ut ad p+2. Si itaque in altero libræ brachio fumatur AP, quæ fit ad AD, ut I, ad p+ s; atqué ex pun&to P fufpendatur correfpondens ea figura ex æqualibus conflata; æquiponderabit ea expofitæ figuræ pri mitus appenfæ ; eritque, duorum fimul fic appenforum fonderum, centrum gravitatis pun&tum A. Adeoque fublato altero ex puncto Pappen fo, fumptoque uti ad pti fic AP ad AC, (hoc eft, ut magnitudo ad magnitudinem fic reci ad diftantiam,) erit C centrum gravitatis ponderis reliqui. Eft autem AD: ergo ACAP= p+ AD; adeoque P+ AP=172 CD=+ AD; & propterea. AD; & propterea. AC. CD::pti. 1. quod erat demonftrandum. Si autem p fit vel - 1, vel minus quam - 1, (puta · 2, ⋅ 3, &c.) Erit p † 1 (puta - 1 + 1, − 2 † 1, - 3 † 1, &c.)vel 0, vel minus quam o, adeoque ad nullam habebit rationem. Unde patet determinatio. Dicet fortaffis; Hoc pacto inveniri quidem centrum Gravitatis in iifdem figuris (inter alias) quas ille Hyperbolas Infinitas vocat, fed non in eodem titu. Non enim ponit ille fuas utrinq; a diametro terminata AD in infinitum continuatas; fed utrinque ad in finitam diametrum A ♪: & centrum gravitatis hoc fitu quærit. Fatemur quidem hoc verum effe. Sed regerimus, nec minus curiofam hanc effe fpeculationem, quam illam alteram; &,ni fallor, novam: nefcio enim an vel ipfe Fermatius vel quifpiam alius id antehac fufceperit, nedum, affecutus fit. Ne autem que ratur ratur, hoc fibi utcunque non fatisfacere, eo quod ille centrum gravitatis in alio ficu poftulet; non gravabimur etiam ex ea parte fibi fatisfacere. Cum recte A A parallela (tum infra, tum fupra,) fint feries reciproca ferici directæ cujus index fic, verbi gratia, p; adeoque feriei reciproca index- p; Camque item dimidia fint integris proportionalia; erunt ipfarum femiffes ejufmodi item feries cun. dem habens indicem -p: adeoque ipfarum pun&ta media, hoc eft P M B rectarum centra gravitatis, intelligenda funt ex libra A fufpendi in diftantiis à Centro libræ A,quæ fint ipfis magnitudinibus proportionales. Et propterea, cum fingularum momenta fint in ratione ex rationibus tum magnitudinum tum diftantiarum à libræ centro compofita erunt ipfa momenta in duplicata ratione magnitudinum; adeoq; feries reciprocra cujus index eft-2 p. Eric itaque tum figura tota, ad infcriptum parallelogrammum; ut 1,ad -p+1: tum omnia illius momenta, ad omnia hujus (in hoc fitu) ut 1,ad-2 pt 1.Eft autem (ut notum eft) parallelogrammi centrum gravitatis, ipfius pun&tum medium; adeoque infcriptum parallelogrammum fufpendi intelligendum erit ex puncto inter A & A medio; puta M: ejufque à centro libræ diftantia eft AM-A 4. Cum itaque totius figuræ pondus in fuo fitu, fic ad pondus infcripti parallelogrammi in fuo, ut 1 ad- 2 p +1, fi fumatur,in altero libræ brachio ultra centrumA,re&ta A P, quæ fic ad AM, ut 1 ad - 2 pt 1; parallogrammum ex puncto P fufpenfum æquiponderabit expofitæ figuræ fufpenfæ ut prius. Eft autem magnitudo figuræ expofitæ, ad Parallegrammi magnitudinem, ut i ad-p+ 1. Si itaque fumatur ut 1,ad - pt 1, fic AP ex una parte, ad AC ex altera parte; (nempe diftantiæ magnitudi nibus reciprocè proportionales;) erit C expofitæ figuræ centrum gravitatis. Eft autem AP AM;adeoque ACP+1 1 AP apti × AM. Hoc eft, ut 1-2 padi-p, fic AM, ad AC. Oportet autem r plus effe quam 2p (adeoq; p minus effe quam ) fecus enim 1-2p nihil erit, vel etiam minus quam o. Dico icaqs Si ad Axem A infinitum, cujus vertex A, utrinque adjace at figura plana, cujus ad axem conjugatum DAd (utrinque terminatum & æqualiter a punto A medio porrectum) ordina. tim applicatæ fint juxta feriem aliquam Reciprocam ( adeoq; indicem habentem negativum) conftitutæ, (quales funt quas appellat Fermatius Hyperbolas Infinitas) Atque fumatur, ut reciprocæ iftius feriei index duplicatus vnitate au&tus, ad eundem indicem unitaté item au&tum, fic AM (diftantia verticis, mediiq; pun&ti parallelogrammi infcripti,) ad AC (verfus eafdem partes in axe Ad jacentem;)erit C expofitæ figuræ (fi quod fit) centrum gravitatis. Habebic autem ea Centrum gravitatis, fi feriei index major fit quam, fin fecus, non habebit. Notandum autem eft,eodem plane modo omnia fuccedere,eti amfi duæ femihyperbole DAS, dA, non utrinq; ponerentur ad rectam A. (ut nempe prodeat figura hyperbolica infinita acuta, ut hic,) fed utrinque ad rectam DB; (coincidentibus retias DB, db,) ut figura prodeat excavata. Eodem, enim modo quo hic quæritur punctum C in recta A, quærendum tum effet in recta DB, faltem producta. Sed & eadem omnia eodem modo fuccederent in figura ex duabus femiparabolis, five femiparaboloidibus, fimilibus, & fi militer pofitis; five ad A tangentem in communi vertice,five ad DB bafim communem. Nempe erit ut 2 p + 1, ad p + 1; fic AM. ad AC; (vel DM, ad DC.) Satis itaq; fuperque factum eft Fermatij poftulatis. Facile autem effet ex ijsdem principiis, non in Parabolis tantum aut Paraboloidibus, integris, fed & in femiparabolis, aut femiparaboloidibus centrumgravitatis determinare; imo & in femiffe iftiufmodi figurarum qua: Hyperbolas Infinitas appel. lat Fermatius; (qucd an ipfe unquam cogitaverit nefcio;) puta rectis AD, DB, terminatis, Ad infinitâ, & una curva corдих tinentur. Invento quippe puncto C, tum in recta AD, tum in recta Ad; ubi recte hinc ducta, reais AD, A parallelæ, fe mutuo mutuo fecant, habetur centrum gravitatis iftius figura. Unde etiam facile colligetur fi, opus eft, centrum Gravitatis in figura ex hujufmodi femiparabolis, five femibyperbolis infinitis diffi milibus conflata. Quæque modo de ejufmodi Hyperbolis planis oftenfa funt,poffant eadem arte ad figuras folidas (mutatis mutandis) accommodari,quæ conftant applicatis ex planis fimilibus parallelis ad rectas five AD fiveA,parallelas, Sed recordandum eft,me nunc Epiftolam, non tra&tatum integrum confcribere, EPISTOLA XVII. D. Joh. Wallis ad D. Vicecomitem Brounker,' Illuftriffime Domine, Uoniam tu illud poftulas (neque par eft ut imperijs iftiuf modi tuis non obtemperem compingam quam poflima breviter methodum quam in venandis numeris, ad Problema Fermatianum folvendum requifitis uterq;hactenus adhibuimus: una cum ejufdem fundamento, varijsque (ubi opus erit) operationum compendiis,fiquando res alioqui in longum fit abitura: Poftulat problema, ut dato quovis numero non-quadrato, (puta na,) reperiatur numerus quadratus (puta aa)qui in datum numerum ductus, adfcita unitate faciat quadratum, (puta naa+ 1, −1.) Sed &, iftiufmodi quadrasi a", exhibeantur infiniti, quicunque proponatur non-quadratus n1. at Poftquam autemhoc olim problema, (quia de numeris Integris nulla facta fuit mentio,) ita folveramus ut omnes poffibiLes tum integros tum fractos exhiberemus: Se tandem exponit D. Fermatius fe folos integros velle; adeoq; petere ut infiniti quadrati integri rem præftantes exhibeantur, Adeoque problema primitus propofitum, in alium plane ftatum immutat alius plane naturæ. Utut fit, fequendum duxi; & rem in numeris integris aggrediendum. Quod & fa&tum eft. Exordium fumendum exiftimabam ab aniverfali Canone pridem exhibito. Nempe fi numerus datus quilibet (quadratus vel non quadratus,integer vel fractus) dicatur N, & quadratus quilibet |